ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ13

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ13 (1002ﾚｽ)
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37(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 02/02(日)18:25 ID:5scbwZz/(4/12) AAS
>>34 補足

下記のツォルン（Zorn）の補題 → ツェルメロ（Zermelo）の整列定理の証明
ここでも、空集合以外の部分集合の順序構造を使う（詳しくは下記ご参照）

直感的には、>>15で示した例示ミニモデルで集合X={a,b,c,d} で
冪集合 P(X)={ {a,b,c,d},
{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d}
{a,b},{a,c},{b,c}, {a,b},{a,d},{b,d}, {a,c},{a,d},{c,d}, {b,c},{b,d},{c,d},
{a},{b},{c,},{d},
　∅ }

これで包含関係で順序が入る
{a,b,c,d}⊃{a,b,d}⊃{a,b}⊃{a}⊃∅
で、整列順序の極大元になる
この前後の差分 c>d>b>a Xので整列になる
この極大は、幾通りもある（どれを選ぶも任意！！です）

それを、ZFCの証明として書くと下記です
繰り返すが、上記の例示を任意無限集合で ZFCの証明として書くと下記

(参考)
ieyasu03.web.エフシーツー.com/contents/09_Mathematics.html（URLが通らないので検索たのむ）
基礎物理から半導体デバイスまで
集合・位相
ieyasu03.web.エフシーツー.com/Mathmatics/36_Well-ordering_theorem.html（URLが通らないので検索たのむ）
§36　整列定理 2023/04/07
1. 整列定理
　ツォルン（Zorn）の補題 [1] を用いて、次のツェルメロ（Zermelo）の整列定理が証明される。以下ではその証明について述べる [2]。
【定理1】（整列定理）
　A を任意の集合とするとき、A に適当な順序関係 ≦ を定義して、(A,≦) を整列集合とすることができる。
【証明】A の部分集合上には、一般に、幾通りもの順序関係が定義される。
いま、A の部分集合 W とそこで定義された順序関係 O との組である W を台とする順序集合 (W,O) を考え、
このような組のうち、整列集合となっているものの全体をｍとする（図1）。すなわち
略す
　【ツォルンの補題】 [1] によって（ｍ,ρ）には極大元（W0,O0）が存在する。
このとき、実は W0=A でなければならないことが次のように示される。
もし、略

参考文献
　1) 「ツォルンの補題」
　2) 松坂和夫　数学入門シリーズ1『集合・位相入門』 p.113 岩波書店（2018/11/06）
　3) 「整列集合における補題」
　4) 「順序集合」
　5) 「選択公理」
　6) 「整列集合の比較定理」
　7) 「集合の濃度」

（上記とほぼ同じ証明の動画）
ヨーツベ/EXPGtoOzpb8?t=1
数学】Zornの補題から整列可能定理を導く！！！【VOICEROID解説】
現役数学科院生・うどん
2022/01/17
(コメント)
@イデアル-d6p
9 か月前
分かりやすいです
@財津匠
2 年前
とても理解の助けになりました！

40(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 02/02(日)19:15 ID:5scbwZz/(5/12) AAS
>>37
ふっふ、ほっほ

コピペは、シールド盾
突っかかるやつへの対抗ですよｗ；ｐ）

特に、大学のテキストPDFのシールドにたまに突っ込む人ありｗ
岩に突撃するが如しｗｗ

たまに大学教授で、講義で選択公理を教えていたと宣う人に
楯突くとか・・も、完全に倒錯ですねｗ；ｐ）

外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
シールド
shield
英語で盾の事

64(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 02/02(日)23:33 ID:5scbwZz/(12/12) AAS
>>37 補足
(引用開始)
>>15で示した例示ミニモデルで集合X={a,b,c,d} で
冪集合 P(X)={ {a,b,c,d},
{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d}
{a,b},{a,c},{b,c}, {a,b},{a,d},{b,d}, {a,c},{a,d},{c,d}, {b,c},{b,d},{c,d},
{a},{b},{c,},{d},
　∅ }
これで包含関係で順序が入る
{a,b,c,d}⊃{a,b,d}⊃{a,b}⊃{a}⊃∅
で、整列順序の極大元になる
この前後の差分 c>d>b>a Xので整列になる
この極大は、幾通りもある（どれを選ぶも任意！！です）
(引用終り)

（補足）
1）{a,b,c,d} を並べる順列は、ご存知の通りで 4！（4の階乗）
　有限 n個を並べる順列は、 n！通り
2）もし可算N(＝ω)なら同様に N！通りだろうが濃度でいうと 2^N かな
　非可算 2^N を並べる方法は、2^2^N（つまり実関数の濃度）か？

繰り返すが、X={a,b,c,d} はたまたまアルファベットを使っていて整列しているように見えるが
a,b,c,d には、全く順序が決まっていないときに
a,b,c,d に順序を与える場合の数は 4！通り

同様に
可算無限 X={x0,x1,x2,・・} に任意の整列順序を与える場合の数は可算では収らないだろうし
非可算無限 X={xt ｜tは実数で t∈[0,∞]} に任意の整列順序を与える場合の数は 2^2^N（つまり実関数の濃度）でしょ；ｐ）

79(4): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 02/03(月)11:25 ID:Kqr4zqHs(1/4) AAS
>>64-65
ID:bvvTKD+8 は、御大か
巡回ご苦労様です

なるほど
ご指摘の思い当たる点を自分で赤ペンすると

(引用開始)
>>15で示した例示ミニモデルで集合X={a,b,c,d} で
冪集合 P(X)={ {a,b,c,d},
{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d}
{a,b},{a,c},{b,c}, {a,b},{a,d},{b,d}, {a,c},{a,d},{c,d}, {b,c},{b,d},{c,d},
{a},{b},{c,},{d},
　∅ }
これで包含関係で順序が入る
{a,b,c,d}⊃{a,b,d}⊃{a,b}⊃{a}⊃∅
で、整列順序の極大元になる
この前後の差分 c>d>b>a Xので整列になる
この極大は、幾通りもある（どれを選ぶも任意！！です）
(引用終り)

１）ここの素朴（ナイーヴ）な議論が、まずいってことですね
２）つまり、無限集合では
　ヒルベルトホテルのパラドックスが起きる ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%81%AE%E7%84%A1%E9%99%90%E3%83%9B%E3%83%86%E3%83%AB%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9
　例えば、順序数ω から一つ減らしても ωのままです（順序数の演算ご参照 ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0 ）
３）この素朴な議論を、ZFC内で正当化したのが >>14の alg-d 壱大整域氏の証明で
　そこで必要なのが　１）選択公理（及びそれと同値のZorn補題）２）順序数との対応付け
　ということですね
　これによって当初の素朴（ナイーヴ）な議論のスジが、ほぼZFC内の議論に変換できている
４）ここで、注目すべきは冪集合 P(X)には、⊃ による順序構造とか
　X={a,b,c,d}を頂点にして最底辺が空集合∅ という階層構造とかがある（一方 X自身にはそういう構造の仮定はない）
　ここらを潜在的な構造としてうまく ZFC内で正当化しているのが、 >>14の alg-d 壱大整域氏の証明です
　なお >>37のツォルン（Zorn）の補題 → ツェルメロ（Zermelo）の整列定理の証明も同様です

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