ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ13

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ13 (1002ﾚｽ)
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28(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 02/02(日)11:23 ID:5scbwZz/(1/12) AA×
>>22 >>14

33(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 02/02(日)12:26 ID:5scbwZz/(2/12) AAS
>>28
(引用開始)
>Xの元をすきな順番に整列できる
大間違い。
順番は選択関数で一意に定まる。
(引用終り)

典型的な、大学数学オチコボレさんのパターンか？；ｐ）
下記ですね
下記の謎の数学者氏いま阪大の数学科准教授だが
彼のいうＭＭ mathematical maturity 数学的成熟度が、低いね

30年前数学科修士卒であれから30年でこれかい？
”選択関数”の理解が上滑りだよ

だから、箱入り無数目で御大が指摘する数学の事項が
全く理解できないんだよね、あなたは！ｗｗｗ

誤解・無理解の選択公理（選択関数）で、ワーワー主張するけど、
その殆どが、大外しだよｗｗ；ｐ）

(参考)
youtu.be/78os69XZrSk?t=1
大学に入ったら数学が突然難しくなる理由。日本の数学科の問題点。

謎の数学者
2021/04/06 #数学者への道

文字起こし
0:00
はいみなさんこんにちは数学者です
0:04
えっと今回はですねこういう話をしていこうかなと思うんですね
大学に入って数学ができなくなる理由ということなんですけれどコレですねあの皆さん
経験した方あるかもしれないですけれどやはりですねあの大学に入って突然ですね数学が
できなくなるということがですね結構あるんですね

2:12
極限の厳密な定義というやつですよねエプシロンでルターによるですねえまあ極限や
微分の厳密な定義
そういった
ことを習ってさらにですねいわゆる線形代数と呼ばれているやつですね

2:40
実は
学部自体は日本だったんですけれど数学科ではなかったんですね私
学部時代機械工学を
専攻したんですけれどそれでもですね大学に入って1年目でどういう授業どういう数学
の授業を取らされたかというとやはりここにあるようなイプシロンデルタとか線形
代数そういったところからですね入っていったんですね
ところがですねやはりこれは
私の考えではいきなりですねあのこういう
ところから入るというのはちょっとですね難しいんですねとりわけつの日本の標準的な
あのすぐ高校の数学のカリキュラム
そういったものを終えたばかりで突然ですね大学に入ってイプシロンデルタ法や線形
代数というのは多少ですねちょっと多少どころじゃないかもしれない
ちょっと急激に難しくなりすぎてるんですねつまりこれゲームバランスが崩壊している
というやつなんです

いわゆる数学的成熟度 mathematical maturity と書きますけれど

4:02
日本のですね大学受験を
突破したその時点での標準的ないわゆる数学的成熟 mathematical maturity
ではですねこういったところはなかなか太刀打ちできないんですね
単純にレベルが足りないんですドラクエで言えばですねまぁ突然ゲームが難しくなると

7:17
私のこの数学の学び方というシリーズで
今のところですねいろいろお話してますのでまだ見てない方はですね
動画説明欄にリンクが貼ってありますので見ていただきたいんですけれど

10:11
あの今回はこれで終わります

34(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 02/02(日)12:50 ID:5scbwZz/(3/12) AAS
>>33補足
>>28
(引用開始)
>Xの元をすきな順番に整列できる
大間違い。
順番は選択関数で一意に定まる。
(引用終り)

赤摂也貼っておきます
『整列可能定理とは, 次の命題のことに他ならない.
(W) いかなる集合も、その上に適当に関係≦を定義して,整列集合にすることが出来る』

これですきな順番に → 適当に関係≦を定義して
と書き換えれば、赤摂也の整列可能定理になる

”すきな順番に”が、不適当でない限り
整列可能定理の射程内ですよ；ｐ）

(参考)
www.jstage.jst.go.jp/article/kisoron1954/5/3/5_3_103/_article/-char/ja/
科学基礎論研究/5 巻 (1960-1962) 3 号/書誌
選択公理をめぐって
赤摂也 1961 年 5 巻 3 号 p. 103-108

www.jstage.jst.go.jp/article/kisoron1954/5/3/5_3_103/_pdf/-char/en
選択公理をめぐって赤摂也科学基礎論研究/5 巻 (1960-1962) 3 号

順序集合は
(6) 空でないいかなる部分順序集合.最小元を持つという条件をみたすとき,整列集合といわれる.
整列可能定理とは, 次の命題のことに他ならない.
(W) いかなる集合も、その上に適当に関係≦を定義して,整列集合にすることが出来る.
(A),(Z),(W)の同等性の証明については, たとえば拙文〔1〕を見ていただきたい.

(余談ですが貼ります)
定理4(Sierpiｎski)一般連続体仮設は選択公理を含意する.

[1]
文献 S. Seki ; On transfinite inferences, Comm. Math. Univ. Sancti Pauli, IV, 1955

37(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 02/02(日)18:25 ID:5scbwZz/(4/12) AAS
>>34 補足

下記のツォルン（Zorn）の補題 → ツェルメロ（Zermelo）の整列定理の証明
ここでも、空集合以外の部分集合の順序構造を使う（詳しくは下記ご参照）

直感的には、>>15で示した例示ミニモデルで集合X={a,b,c,d} で
冪集合 P(X)={ {a,b,c,d},
{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d}
{a,b},{a,c},{b,c}, {a,b},{a,d},{b,d}, {a,c},{a,d},{c,d}, {b,c},{b,d},{c,d},
{a},{b},{c,},{d},
　∅ }

これで包含関係で順序が入る
{a,b,c,d}⊃{a,b,d}⊃{a,b}⊃{a}⊃∅
で、整列順序の極大元になる
この前後の差分 c>d>b>a Xので整列になる
この極大は、幾通りもある（どれを選ぶも任意！！です）

それを、ZFCの証明として書くと下記です
繰り返すが、上記の例示を任意無限集合で ZFCの証明として書くと下記

(参考)
ieyasu03.web.エフシーツー.com/contents/09_Mathematics.html（URLが通らないので検索たのむ）
基礎物理から半導体デバイスまで
集合・位相
ieyasu03.web.エフシーツー.com/Mathmatics/36_Well-ordering_theorem.html（URLが通らないので検索たのむ）
§36　整列定理 2023/04/07
1. 整列定理
　ツォルン（Zorn）の補題 [1] を用いて、次のツェルメロ（Zermelo）の整列定理が証明される。以下ではその証明について述べる [2]。
【定理1】（整列定理）
　A を任意の集合とするとき、A に適当な順序関係 ≦ を定義して、(A,≦) を整列集合とすることができる。
【証明】A の部分集合上には、一般に、幾通りもの順序関係が定義される。
いま、A の部分集合 W とそこで定義された順序関係 O との組である W を台とする順序集合 (W,O) を考え、
このような組のうち、整列集合となっているものの全体をｍとする（図1）。すなわち
略す
　【ツォルンの補題】 [1] によって（ｍ,ρ）には極大元（W0,O0）が存在する。
このとき、実は W0=A でなければならないことが次のように示される。
もし、略

参考文献
　1) 「ツォルンの補題」
　2) 松坂和夫　数学入門シリーズ1『集合・位相入門』 p.113 岩波書店（2018/11/06）
　3) 「整列集合における補題」
　4) 「順序集合」
　5) 「選択公理」
　6) 「整列集合の比較定理」
　7) 「集合の濃度」

（上記とほぼ同じ証明の動画）
ヨーツベ/EXPGtoOzpb8?t=1
数学】Zornの補題から整列可能定理を導く！！！【VOICEROID解説】
現役数学科院生・うどん
2022/01/17
(コメント)
@イデアル-d6p
9 か月前
分かりやすいです
@財津匠
2 年前
とても理解の助けになりました！

40(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 02/02(日)19:15 ID:5scbwZz/(5/12) AAS
>>37
ふっふ、ほっほ

コピペは、シールド盾
突っかかるやつへの対抗ですよｗ；ｐ）

特に、大学のテキストPDFのシールドにたまに突っ込む人ありｗ
岩に突撃するが如しｗｗ

たまに大学教授で、講義で選択公理を教えていたと宣う人に
楯突くとか・・も、完全に倒錯ですねｗ；ｐ）

外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
シールド
shield
英語で盾の事

42(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 02/02(日)19:26 ID:5scbwZz/(6/12) AAS
>>39
(引用開始)
>Xの元をすきな順番に整列できる
P(X)-{φ}からその要素を選択する選択関数をどう決めるか次第でね
ただ選択関数を決めてしまったら順番は一意だけど
(引用終り)

ふっふ、ほっほ

1）選択関数の一意性を主張するような論文、テキスト（教科書）、解説は皆無
2）自分で、『固定』！とか宣言しない限り
　”一意性”は、実現できない
3）つまり、あなたの選択関数と、私が（思う）選択する選択関数ｗ
　は、異なって良いのです！！ｗｗ；ｐ）

(参考)
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
一意性 (数学)
一意性（いちいせい、英語: uniqueness）とは数学分野において、注目している数学的対象が「存在するならばただ一つだけである」或いは「ただ一つだけ存在している（つまり「存在して、かつ、存在するならばただ一つだけである」の意）」という性質である。
一意性の証明
ある対象が一意性を満たすかどうかを証明する方法は、始めに目的の条件を持つ対象が存在することを証明し、
次にそのような対象がもう一つあり（例: aと b、それらが互いに等しいこと
（すなわち a=b ）
を示すことで得られる。

47(5): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 02/02(日)19:45 ID:5scbwZz/(7/12) AAS
>>41
(引用開始)
>突っかかるやつへの対抗ですよｗ；ｐ）
君自身がコピペした内容理解してないから無意味
君、Jechの証明理解してないじゃん
(引用終り)

ふっふ、ほっほ

1）もし引用部分が正しいとするね
　そうすると、私の書いていることは
　基本は引用部分のURLからの再引用（2度目の引用）であります；ｐ）
　あるいは、引用部分のURLからの必然の事項となっています
2）従って、理解しているいないには関係なく
　ツッコミどころは、ない！ｗ
　（そこをたまに誤解して、”再引用（2度目の引用）”を私個人の意見と誤解してツッコミ入れる人居ますｗ。それあなたですｗ）
3）Jechの証明、前スレより下記だね
　 en.wikipedia の ”sup{α∣aα is defined}”が分らんと言っていた人あなたでしょ？ｗ
　私も誤解がありましたが、>>14の alg-d 壱大整域氏の証明で、ようやく理解できました

ご苦労さまですｗ；ｐ）

　前スレ 808より (参考)(再掲) 631より
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem
Proof from axiom of choice
The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9]
Let the set we are trying to well-order be A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A.　
For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting
aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})
if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is.
That is, aα is chosen from the set of elements of A that have not yet been assigned a place in the ordering (or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated).
Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β (in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}.
Notes
9＾ Jech, Thomas (2002). Set Theory (Third Millennium Edition). Springer. p. 48. ISBN 978-3-540-44085-7.
(引用終り)

Thomas Jechの証明再録（前スレ 848より）
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
　Every set can be well-orderd.
Proof：
Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A.
That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.
We let for every α
aα=f(A-{aξ：ξ<α})
if A-{aξ：ξ<α} is nonempty.
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■
(引用終り)

50(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 02/02(日)19:58 ID:5scbwZz/(8/12) AAS
>>44
(引用開始)
>3）つまり、あなたの選択関数と、私が（思う）選択する選択関数ｗ
>　は、異なって良いのです！！ｗｗ；ｐ）
だからと言って勝手な選択関数は作れない。
もし作れるならそもそも選択公理は不要。
だから
>すきな順番に整列できる
は嘘デタラメ。
(引用終り)

ふっふ、ほっほ

・それ、自爆発言ですね
・自ら、>>47のJechの証明あるいは >>14の alg-d 壱大整域氏の証明が
　ちゃんと理解出来ていないと自白しているに等しい！ｗ
・もしちゃんと理解出来ているならば
　選択公理（選択関数）には大きな自由度（任意度）があるのが分るはずです

おサルさん>>7-10、
証明を読むときに私が心がけているのが
数学の証明は、その背後の数学的構造を反映する鏡であり
数学の証明を理解することは、背後の数学的構造を理解することだと
そう思って証明を見ています

あなたは、真に Jechの証明あるいは >>14の alg-d 壱大整域氏の証明が
ちゃんと理解出来てはいない！！ｗｗｗ；ｐ）

51(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 02/02(日)20:01 ID:5scbwZz/(9/12) AAS
>>50 補足
>・もしちゃんと理解出来ているならば
>　選択公理（選択関数）には大きな自由度（任意度）があるのが分るはずです
>あなたは、真に Jechの証明あるいは >>14の alg-d 壱大整域氏の証明が
>ちゃんと理解出来てはいない！！ｗｗｗ；ｐ）

その選択公理（選択関数）の誤解・誤読が
箱入り無数目のあなたの議論の迷走の根源です！ｗ；ｐ）

56(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 02/02(日)21:56 ID:5scbwZz/(10/12) AAS
>>52-54
>「自分の好きな順番」と言う場合、「その順番ってZF内で記述できるの？」
>ということが問題になり、それが可能なら選択公理は要らないよね
>ということに気づかないのは、迂闊であり、有限バカだから。

1）整列可能定理で、整列させる順番は、決して一意ではない
2）それは、有限 or 無限とは別問題ですよ
3）”それが可能なら選択公理は要らないよ”は、誤解と無理解の複雑骨折ですねｗ；ｐ）

>　選択関数を決めたら整列は一意だといったまで
>　選択関数が一意的でないのだから可能な整列も一意的ではない
>　さらに整列から選択関数も決められるが、
>　その場合可能な選択関数のすべてが実現できるわけではない

1）ある人がある証明の中で「選択関数を決めて固定する」と宣言した
　それは、何の問題もない
2）しかし、それはその証明中だけ
　例えば、実数Rの整列を考えてみよう
　”実数Rの整列”を決める？固定する？それ ZFC内では無理ですよ
　そして、明らかに ”実数Rの整列”は一意ではない
　何通りもあるだろう。多分少なくとも可算通りでは収まらない（下記ご参照）

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88
整列集合
実数からなる集合
正の実数全体の成す集合 R+ に通常の大小関係 ≤ を考えたものは整列順序ではない。例えば開区間 (0, 1) は最小元を持たない。一方、選択公理を含む集合論の ZFC 公理系からは、実数全体の成す集合 R 上の整列順序が存在することが示せる。しかし、ZFC や、一般連続体仮説を加えた体系 ZFC+GCH においては、R 上の整列順序を定義する論理式は存在しない[1]。ただし、R 上の定義可能な整列順序の存在は ZFC と(相対的に)無矛盾である。例えば V=L は ZFC と(相対的に)無矛盾であり、ZFC+V=L ではある特定の論理式が R（実際には任意の集合）を整列順序付けることが従う。

61(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 02/02(日)23:15 ID:5scbwZz/(11/12) AAS
>>55 >>57-59
>わからない

ID:bvvTKD+8 は、御大か
夜の巡回ご苦労さまです

ID:7z4Dw9JTは、おサル>>7-10
プロ数学者から
ダメ出しされちゃたねｗ；ｐ）

>つまり、直積の何らかの元が存在すると主張している。これは論理記号で書けば∃fであって∀fではない。
>大きな任意度があーと言ってる君は∃と∀の区別が分かってないだけ。

”∃と∀の区別が分かってない”のは、あなた
いま Xを無限集合としようその要素xについて
∀x∈X で何かの命題を証明したとする。反例はただ一つ ∃x∈X あれば良い
つまり、∀x∈Xと言ったら 100％正しくないといけない。0.1％でも例外は許されない

一方、∃x∈Xについて何かの命題を証明したとする
それはただ一つの∃x∈Xを意味しない。二つあっても良いし、場合によれば 100％（つまり∀x∈X）でも良い！
（∀x∈X は、反例を構成しない！）
∃x∈Xを否定するには、反証をすべての ∀x∈X についてしなければならない！！

>箱入り無数目の確率は、ある箱の中身を当てる確率ではなく、当たりの箱を選ぶ確率。それを10年かかってどうしても理解できないのが君。

もし、君が神様で箱を開けずに中の数を透視できるならば、箱を開けずに箱の中身（＝任意の実数）を当てられる
しかし、任意の実数の1点はルベーグ測度で零集合でルベーグ測度は0しか与えられないのだよ？
矛盾でしょ？ああ、君は数学科1年か2年で詰んでいてｗ
ルベーグ測度が分らないのかな？ｗｗ；ｐ）

64(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 02/02(日)23:33 ID:5scbwZz/(12/12) AAS
>>37 補足
(引用開始)
>>15で示した例示ミニモデルで集合X={a,b,c,d} で
冪集合 P(X)={ {a,b,c,d},
{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d}
{a,b},{a,c},{b,c}, {a,b},{a,d},{b,d}, {a,c},{a,d},{c,d}, {b,c},{b,d},{c,d},
{a},{b},{c,},{d},
　∅ }
これで包含関係で順序が入る
{a,b,c,d}⊃{a,b,d}⊃{a,b}⊃{a}⊃∅
で、整列順序の極大元になる
この前後の差分 c>d>b>a Xので整列になる
この極大は、幾通りもある（どれを選ぶも任意！！です）
(引用終り)

（補足）
1）{a,b,c,d} を並べる順列は、ご存知の通りで 4！（4の階乗）
　有限 n個を並べる順列は、 n！通り
2）もし可算N(＝ω)なら同様に N！通りだろうが濃度でいうと 2^N かな
　非可算 2^N を並べる方法は、2^2^N（つまり実関数の濃度）か？

繰り返すが、X={a,b,c,d} はたまたまアルファベットを使っていて整列しているように見えるが
a,b,c,d には、全く順序が決まっていないときに
a,b,c,d に順序を与える場合の数は 4！通り

同様に
可算無限 X={x0,x1,x2,・・} に任意の整列順序を与える場合の数は可算では収らないだろうし
非可算無限 X={xt ｜tは実数で t∈[0,∞]} に任意の整列順序を与える場合の数は 2^2^N（つまり実関数の濃度）でしょ；ｐ）

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