[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ13 (1002ﾚｽ)
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59(1): 02/02(日)22:37:06.94 ID:7z4Dw9JT(17/18) AAS
>>51
>その 選択公理（選択関数）の誤解・誤読が
>箱入り無数目の あなたの議論の迷走の 根源です！ｗ ；ｐ）
おサルさんの迷走の根源は何の確率かを取り違えていること。
箱入り無数目の確率は、ある箱の中身を当てる確率ではなく、当たりの箱を選ぶ確率。それを10年かかってどうしても理解できないのが君。
160(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 02/04(火)17:48:44.94 ID:+HgMDnV2(9/11) AAS
つづき
外部ﾘﾝｸ:www.ms.u-tokyo.ac.jp
河東泰之(かわひがしやすゆき) (Google Scholar Page)
外部ﾘﾝｸ[htm]:www.ms.u-tokyo.ac.jp
河東泰之の「数理科学」古い記事リスト
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.ms.u-tokyo.ac.jp
6.河東泰之， 線形代数と関数解析学，「数理科学」 Vol.46-6, pp.39-43, サイエンス社，2008
1. はじめに
線形代数は線形空間とその上の線形作用素を取り扱う．
ごく基礎的な部分は線形空間が有限次元でも無限次元でも違いはないが，線形代数の中心的な話題，すなわち対角化，ジョルダン標準形，ランクの話などは，線形空間が有限次元でないと話がうまく進まない．
そもそも行列を具体的に書く話が線形代数の中心であり，無限サイズの行列は最初から話に入っていない．
この意味で通常の線形代数は有限次元の理論であると言ってもさしつかえない．
これを無限次元で考察するのが関数解析学である．
しかし，単に無限次元の線形空間やその上の線形作用素を考えたのでは，手がかりが少なすぎて，意味のある一般論はほとんど何も展開できない．
そこで新たな手法が必要になる．それが収束の概念である．
これを導入し，位相的な考察を加えた無限次元の線形代数が関数解析学である．
そもそもなぜ「関数」解析というのだろうか．それはさまざまな関数のなす無限次元空間が基本的な対象だからである．
関数解析学成立の重要な動機を与えたのは，微分(あるいは積分)方程式と量子力学である．
これら二つについては本号の特集でそれぞれ別に記事があるのでここでは詳しいことは書かないが，
前者については関数が出てくるのは当然であり，後者についてもさまざまな関数が物理的状態を表すものとして現れることに注意しておこう．
以下，線形代数が無限次元でどのような形を取るのか見ていくことにする．
2. ヒルベルト空間とバナッハ空間
まず線形作用素の前に線形空間がなければ話が始まらない．通常の線形代数では，基底の話は重要であるが，それ以外にはあまり中身のある話はない．たとえば線形空間の公理自体にたいして中身があるわけではない．通常の微分積分学では，数列の収束が基本的な概念である．
略
線形空間としての基底，すなわち任意のベクトルを有限個の基底ベクトルの線形結合で表せるものはいつでも存在するが，無限次元線形空間でそのようなものを考えてもほとんど役に立たない．
かわりに有用なのは，任意のベクトルを無限個のベクトルの線形結合で表すことである．ヒルベルト空間では，これを実現する正規直交基底を取ることがいつでもでき，有限次元空間とよく似た話が無限次元でも展開できる．フーリエ級数はその具体例として大変重要なものである．
これに対し，一般のバナッハ空間の設定では基底の一般論はやっかいであり，あまりはっきりした結果は得られない．
ノルムがうまく定められないが自然に位相の入る線形空間もあり，さまざまなクラスが研究されているが簡単のためここでは省略する．
以下略
(引用終り)
以上
357: 02/08(土)08:00:57.94 ID:j9+iidv9(1/9) AAS
このスレ終了
457(5): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 02/09(日)22:58:34.94 ID:lz6oAIdr(11/12) AAS
>>443-445
>むずかしい
ご苦労さまです
ID:bOyjY4Ig は、御大か
巡回ありがとうございます
{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・ ∈{・・{{{}}}・・}_ω
ここで、カッコ{}の多重度を導入しよう
{}は、カッコの多重度0
{{}}は、カッコの多重度1
{{{}}}は、カッコの多重度2
{{{{}}}}は、カッコの多重度3
・
・
・
{・・{{{}}}・・}_ωは、カッコ{}の多重度ω
となる。それだけのことよ
N={0,1,2,・・,n,n+1,・・}で
一番外側の括弧を外した0,1,2,・・,n,n+1,・・ は、任意有限の自然数の元が並んでいる状態だね
{・・{{{}}}・・}_ωで
一番外側の括弧を外した ・・{{{}}}・・ は、任意有限のカッコ{}の自然数多重度を表す
そう解釈すれば 良いんじゃね？ｗ
簡単な話だよｗｗ ；ｐ）
664(1): 02/11(火)14:54:21.94 ID:xoFIjB4w(2/14) AAS
表現論
782(1): 02/12(水)11:58:55.94 ID:28pImGRZ(4/4) AAS
多変数積分の変数変換なら
ヤコビアンを持ち出すしかないので
行列式を経由するのも仕方ないが
単に線形独立性を確認するのに
わざわざ行列式を持ち出す必要は
全く無いと断言する
918(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 02/14(金)18:17:09.94 ID:PWoDQ15e(9/9) AAS
つづき
佐藤幹夫は17歳の時終戦を迎えた．戦中，戦後は物
資不足でインクを薄めて使い，紙を節約するため，字
もなるべく小さく書いていた．旧制高校から東大の数
学科に学ぶが大学院生の時は定時制高校の非常勤講師
をしていてきわめて多忙であった．生徒のために職場
に行ってかけあうこともしたそうである．既成の数学
の本をきちんと読むことは苦手だったようで，定評の
あった吉田耕作「位相解析』も全部は読まず，付録に
載せられていたシュワルツの超関数（distribution ）
の理論を読んだ．無限回微分可能な関数を使う理論構
成に非常な不満を覚え，正則関数を基にした超関数論
（hyperfunction ）の構想をえた．またあるとき「岩
波数学辞典が大変便利でしたね．定理さえ分かればい
いんです．必要な証明は自分で考えればいいから」と
言われた．彼もまた，解析，代数，ホモロジー代数，
数論と極めて多方面において，真に独創的な仕事をし
てきている，京都大学数理解析研究所を定年で辞める
とき「これからは教えることもなく数学に専念できる
ので真にうれしい」と言われたという．真から数学が
好きなので論文を書くことは苦手である．研究結果を
まとめようとすると，次から次へと理論が展開してし
まい書き上げることができないのだという．既成の学
問の修得が大切であることは疑いの無いところだが，
天才達は自身の体の中から数学があふれてくるのであ
ろうか．
グロタンディクと佐藤幹夫のもつ今ひとつの類似点
は，良き師に巡り会ったことである．デュドネは幅広
く数学を研究した骨太の数学者である．グロタンディ
クに出会った彼は位相線形空間で解析の問題を提起
し，のちにグロタンディクが代数的な代数幾何の建設
を行うと，方向を変えて代数を主体とする本（EGA ）
を自ら書きスキームの理論の普及を図った．自らの数
学的業績を犠牲にしたのである．しかも，小平邦彦の
言によるとグロタンディクはデュドネの書き方に極め
て批判的であったそうで，小平自身はデュドネにはな
はだ同情的であった．
略
天才は突然生まれる．グロタンディクはインフェル
トの書いたガロアの伝記に強く影響を受けたという。
純粋に生きた数学者のロマンチックな生き方も天才を
育てる力がある．だから良質な数学啓蒙書の存在も無
視できない．そして見いだされた天才を育てるには，
懐の深い寛容な教育と静かな研究の環境が必要であ
る．今は天才がいない時代だと嘆くのではなく，おお
らかな旧時代の良さを少しでも取り戻す努力が必要な
のではないだろうか．
(引用終り)
以上
932(2): 02/15(土)01:04:46.94 ID:tNB6oeTf(1/13) AAS
>>26
（引用開始）
(3(Zornの補題) ⇒ 1(選択公理))
{X_λ}_{λ∈Λ}を非空集合の族とする．
A := { g:Σ→∪_{λ∈Λ} X_λ | Σ⊂Λ, 任意のλ∈Σに対してg(λ)∈Xλ }
としてAに ⊂ で順序を入れる．B⊂Aを部分全順序集合とするとき ∪g∈B g ∈ A は B の上界である．
即ち A はZornの補題の仮定を満たす．故に極大元 f∈A を持つ．
もし dom(f)≠Λ であれば f が極大であることに反するので dom(f)=Λ となる．故に f は選択関数である．
（引用終了）
選択関数はAの元なんだから、Aがwell-definedなら選択関数の存在は自明だけどその証明が無いのでは？
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