ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ13

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ13 (1002ﾚｽ)
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9(25): 02/01(土)08:50:14.05 ID:lDxwqd7y(9/16) AAS
つづき

あほサルの続き

さて
『なぜ、ZFC公理まで遡らなくても数学が出来るの？』スレより
itest.5ch.net/rio2016/test/read.cgi/math/1731415731/771
2024/12/21
おサルさん
笑えるよ
>>684-686 >>689
(引用開始)
正則性公理は ”∈-induction”と関係していて
ZFC内の全ての集合について”∈-”による整礎関係を与え、
∈に関する整礎帰納法である”∈-induction”の適用を可能とする
全順序とか余計な一言を書いたせいで大恥かいたな　高卒童貞

正則性公理は∈を整礎関係たらしめると同時に反射律 a∈a を否定するため順序関係たらしめない。
また正則性公理と関係無く推移律 a∈b ∧ b∈c ⇒ a∈c は成立しない。実際 {}∈{{}} ∧ {{}}∈{{{}}} は真だが、{}∈{{{}}} は偽。
>正則性公理は ”∈-induction”と関係していて
>ZFC内の全ての集合について”∈-”による整礎な全順序関係を与え
は大間違い
>また…推移律 a∈b ∧ b∈c ⇒ a∈c は成立しない。
　ヌォォォォ
　すまん・・・OTL
　工学部卒の自己愛童貞と違うので土下座で謝罪
(引用終り)
オレは、ここの次スレを立てることはしないが
自分の立てたスレが、数学板に3つある
おサルさんの学力顕彰のために、3つスレで次回のスレ立ての
テンプレに入れるよ。そして、眺めてニヤリと笑うことにしよう
『正則性公理は∈を整礎関係たらしめると同時に反射律 a∈a を否定するため順序関係たらしめない』
か。妄言である！数学科オチコボレさんだってねｗガッハハｗｗ
(引用終り)

・整列集合 ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88
　『（選択公理に同値な）整列可能定理は、任意の集合が整列順序付け可能であることを主張するものである。整列可能定理はまたツォルンの補題とも同値である』
　『実数からなる集合
正の実数全体の成す集合 R+ に通常の大小関係 ≤ を考えたものは整列順序ではない。例えば開区間 (0, 1) は最小元を持たない。一方、選択公理を含む集合論の ZFC 公理系からは、実数全体の成す集合 R 上の整列順序が存在することが示せる。しかし、ZFC や、一般連続体仮説を加えた体系 ZFC+GCH においては、R 上の整列順序を定義する論理式は存在しない[1]。ただし、R 上の定義可能な整列順序の存在は ZFC と(相対的に)無矛盾である。例えば V=L は ZFC と(相対的に)無矛盾であり、ZFC+V=L ではある特定の論理式が R（実際には任意の集合）を整列順序付けることが従う。』

つづく

28(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 02/02(日)11:23:54.05 ID:5scbwZz/(1/12) AA×
>>22 >>14

37(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 02/02(日)18:25:21.05 ID:5scbwZz/(4/12) AAS
>>34 補足

下記のツォルン（Zorn）の補題 → ツェルメロ（Zermelo）の整列定理の証明
ここでも、空集合以外の部分集合の順序構造を使う（詳しくは下記ご参照）

直感的には、>>15で示した例示ミニモデルで集合X={a,b,c,d} で
冪集合 P(X)={ {a,b,c,d},
{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d}
{a,b},{a,c},{b,c}, {a,b},{a,d},{b,d}, {a,c},{a,d},{c,d}, {b,c},{b,d},{c,d},
{a},{b},{c,},{d},
　∅ }

これで包含関係で順序が入る
{a,b,c,d}⊃{a,b,d}⊃{a,b}⊃{a}⊃∅
で、整列順序の極大元になる
この前後の差分 c>d>b>a Xので整列になる
この極大は、幾通りもある（どれを選ぶも任意！！です）

それを、ZFCの証明として書くと下記です
繰り返すが、上記の例示を任意無限集合で ZFCの証明として書くと下記

(参考)
ieyasu03.web.エフシーツー.com/contents/09_Mathematics.html（URLが通らないので検索たのむ）
基礎物理から半導体デバイスまで
集合・位相
ieyasu03.web.エフシーツー.com/Mathmatics/36_Well-ordering_theorem.html（URLが通らないので検索たのむ）
§36　整列定理 2023/04/07
1. 整列定理
　ツォルン（Zorn）の補題 [1] を用いて、次のツェルメロ（Zermelo）の整列定理が証明される。以下ではその証明について述べる [2]。
【定理1】（整列定理）
　A を任意の集合とするとき、A に適当な順序関係 ≦ を定義して、(A,≦) を整列集合とすることができる。
【証明】A の部分集合上には、一般に、幾通りもの順序関係が定義される。
いま、A の部分集合 W とそこで定義された順序関係 O との組である W を台とする順序集合 (W,O) を考え、
このような組のうち、整列集合となっているものの全体をｍとする（図1）。すなわち
略す
　【ツォルンの補題】 [1] によって（ｍ,ρ）には極大元（W0,O0）が存在する。
このとき、実は W0=A でなければならないことが次のように示される。
もし、略

参考文献
　1) 「ツォルンの補題」
　2) 松坂和夫　数学入門シリーズ1『集合・位相入門』 p.113 岩波書店（2018/11/06）
　3) 「整列集合における補題」
　4) 「順序集合」
　5) 「選択公理」
　6) 「整列集合の比較定理」
　7) 「集合の濃度」

（上記とほぼ同じ証明の動画）
ヨーツベ/EXPGtoOzpb8?t=1
数学】Zornの補題から整列可能定理を導く！！！【VOICEROID解説】
現役数学科院生・うどん
2022/01/17
(コメント)
@イデアル-d6p
9 か月前
分かりやすいです
@財津匠
2 年前
とても理解の助けになりました！

95(1): 02/03(月)18:15:26.05 ID:oyw47Vnz(10/15) AAS
>>93
>そして、なにをどう選ぶか？
>そのとき、その人次第なのです
選択公理を仮定しても選択関数が存在することしか言えないのに何をどう選ぶと？

君、選択公理すら分かってないんだね　なんでそんなに馬鹿自慢したいの？

269(1): 02/06(木)10:54:11.05 ID:aQgPt+EW(1/2) AAS
>>268
で？　そこから矛盾は全く出ないけど

君こそ論理に基づいて証明する前に書き込みしない方がいい

393: 02/09(日)06:37:47.05 ID:KVhWlXEd(4/26) AAS
>>391
> ギャハハハハハハ！！！
> 10の有限小数は環をなさねえよ！

　ギャハハハハハハ！！！
　環は成すよ・・・体は成さんけど

> Uが、環を成すことは u1,u2 ∈U で、u1,u2 の和と積が集合Uに属することから明らか

　＋に関しては逆元の存在が必要
　×に関しては逆元は必要ないが　（体じゃないから）

　サルは常に間違える、という思い込みにとらわれました
　・・・ま、サルが正しかったのは偶然だろうけどｗ

434(5): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 02/09(日)20:08:08.05 ID:lz6oAIdr(9/12) AAS
>>427
(引用開始)
{・・{{{}}}・・}_ωが集合であると仮定すると、その元は一番外側の括弧を外したもの。
しかしωは後続順序数ではないのでその前者は存在しない。よって一番外側の括弧を外すことができない。
集合なのに一番外側の括弧を外すことができないのは矛盾だから、集合であるとした仮定が誤り。
つまり
>しかしだから、lim n → ω ω := {・・{{{}}}・・}_ω と定義してしまえ！
は、ある不明なものを別の不明なもので定義しただけであり、結局何の定義にもなっていない。
(引用終り)

良いんじゃね？それで
・ZFC で、ゲーデルの不完全性定理の示すところ、ZFCで否定も肯定もできない命題が存在するよね
　だから、”lim n → ω ω := {・・{{{}}}・・}_ω と定義してしまえ！”はあり(ZFCの外の存在としてでも)
・そもそもが、無限公理についてもデデキントは ”無限集合の存在”が証明できると考えていたのです（下記渕野）
・しかし、”無限集合の存在”は、他の公理から証明することができないとなって
　”無限集合の存在”の公理を置いた（いわゆる無限公理）
・「無限とはなんぞや？」だが、”無限”を言葉で書くとまずい
　言葉で書くと、その書いたことばをまた定義しなければならない・・と無限に後退してしまう
　だから、”無限集合”を公理としておいた
・だったら、それに準じて必要ならば ”lim n → ω ω := {・・{{{}}}・・}_ω と定義してしまえ！”は、ありだろ？
　それが、従来の集合と異なる？　それがどうした？
　無限公理の示す無限集合はそれ以前の有限集合と異なる性質を持つよｗ；ｐ）

(参考)
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
数理解析研究所講究録 2011年
Dedekindの数学の基礎付けと集合論の公理化
渕野昌神戸大学

Ｐ173
3 無限の存在証明

晩年のDedekind が，無限の存在証明 ([3] の66.)の残ったままのテキストをこの再版に回してしまったことの背景だったのではないだろうか．
ただし，Dedekindの名誉のために付け加えておくと，1911年の時点では，無限の存在が集合論の他の公理から独立であることは，当時の若い集合論の研究者たちすら，まだ完全には把握しきれていなかった可能性がある．たとえば，Zermelo文[18]の公理系とよばれることになる体系の原形はで発表されているが，その初めで，Zermelo Zermeloは，
略す
と書いているし，Zermelo [18],下線の公理の命題の間の独立性についての，より踏み込んだ議論は，Fraenkelらである．無限公理の1922年の論文[7]までなされていないように思えるか(無限集合の存在を主張する公理)性はの集合論の他の公理からの独立(集合論のすべての公理を含む体系の中で), Hω (hereditarily f initeな集合の全体)と，この上に$\in$関係を制限したものの組からなる構造を作ると，そこでは，無限公理以外の集合論のすべてが成り立つことが確かめられ，そのことから「集合論の公理系が無矛盾なら，集合論の公理系から無限公理を除いた体系から無限公理は導かれない」ことが導かれるとして示すことができる．もちろん，[集合論の公理系が無矛盾なら」は，不完全性定理以降の時代に生きる我々の後知恵であるが(9),
略す
(引用終り)

633: 02/11(火)08:52:34.05 ID:MW1+hP7T(11/61) AAS
有限個の領域が接する点があると、そこで関係式が生じてしまう
尖点は問題ないと思うが、証明したわけではない

687(1): 02/11(火)17:48:51.05 ID:xoFIjB4w(7/14) AAS
いやしくも数学者たるもの
ポール・エルデシュや
ラマヌジャンのような純粋さへの
共感を忘れてはいけない

711(1): 02/11(火)19:01:56.05 ID:xoFIjB4w(13/14) AAS
>>708
でも表現論が線形代数の応用であることは知っている

853: 02/13(木)12:48:21.05 ID:p6ojnvAy(1) AAS
とはいえ、消去法は古代中国でも知られていたがね

九章算術

方程
ガウスの消去法による連立一次方程式の解法、
そのための負の数とその演算規則の導入。
二個ないし三個の未知数の連立方程式を扱う。

877: 02/13(木)18:20:17.05 ID:SX0Ci419(15/17) AAS
ニホンザル ◆yH25M02vWFhP の勉強法は
「公式だけつまみ食い」スタイル

理論とか理解する気ゼロ
論理がわかんないから当然だけど

だから「正方行列全体の成す群」とか平気でいっちゃう

いい加減自分が数学の初歩から分からん馬鹿だと悟れ
馬鹿だと悟らない限りこの先いくらでも初歩レベルの間違いを語りまくる
自分は乙より賢いと思ってるみたいだが、乙よりはるかに馬鹿だぞ

883: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 02/13(木)21:15:34.05 ID:15djKJcM(3/4) AAS
>>871
>特集／“線形代数の力”：その計り知れない威力数理科学 NO.540,JUNE 2008

昔は、数理科学は熱心に、毎月読んでいたが
この号は、覚えていない。目次は、下記ですね

(参考)
外部ﾘﾝｸ:www.saiensu.co.jp
バックナンバー
数理科学 2008年6月号Ｎｏ.540
線形代数の力
その歴史から多彩な応用まで

内容詳細
線形代数は微分積分学と並び，使われている分野が幅広く，現代の理工系学生は避けて通れない学問になっています．本特集では，線形代数に登場する線形空間，固有値問題といった用語から平面幾何，微分方程式，関数解析，表現論など数学での応用や物理学，工学での応用に至るまで，諸分野において線形代数がいかに威力を発揮しているかを，これから学び始める人にもわかりやすく，歴史も交えて紹介していきます．

立ち読みをする＜線形代数小史齋藤正彦＞
外部ﾘﾝｸ[htm]:www.saiensu.co.jp

目次
特集
線形代数小史齋藤正彦
線形空間とは何か〜用語に親しむ〜高橋大輔
固有値問題とは何か桂　利行
線形代数と幾何〜図形で楽しむ線形代数〜砂田利一
線形代数から表現論へ平井　武
線形代数と微分方程式真島秀行
線形代数と関数解析学〜無限次元の考え方〜河東泰之
物理学と線形代数荒木不二洋
コラム：数理工学と線形代数岩田　覚
コラム：行列雑話山本哲朗
コラム：線形代数と制御理論木村英紀
線形代数で語る画像圧縮入門川本一彦
インタビュー線形代数今昔齋藤正彦
名著に親しむ私の線形代数読書遍歴高山信毅

リレー連載
数学の道しるべ　1
〜プリンストン研究所滞在記（1976−78）〜松本幸夫
物理の道しるべ　2
〜物理学への紆余曲折した道のり〜藤川和男

893: 02/14(金)07:20:39.05 ID:vHlEN/cV(6/18) AAS
あいつも正方行列の群ではなく正方行列の環といえばよかったんだけどな

まあ、問題が「群の例を３つ挙げよ」だったからそれは無理か

群の例を聞かれてるのに、環の例を出すのは別の意味で馬鹿

985: 02/16(日)16:03:41.05 ID:XssMUT1p(2/17) AA×

991: 02/16(日)21:16:37.05 ID:XssMUT1p(8/17) AAS
n次正方行列の固有多項式において、
i次の係数 ci は A の固有値たちのなす (n − i)次基本対称式に等しい。
特に、定数項（0次の係数）c0 は固有値の総乗ゆえ
A の行列式 detA に等しい。

998: 02/16(日)21:38:40.05 ID:XssMUT1p(15/17) AAS
固有値における値に関する連立方程式
e^ it = c0 + ic1
e^−it = c0 − ic1
を解いて、
c0 = (e^it + e^−it)/2 = cos(t)
c1 = (e^it − e^−it)/2i = sin(t)
を得る。

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