ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ13

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941: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/02/15(土) 08:58:44.38 ID:XknlDm4+

>>934
>A' := { g:Λ→∪_{λ∈Λ} X_λ | 任意のλ∈Λに対してg(λ)∈Xλ }
>とする。存在例化により選択関数f∈A'が存在する。

1）存在例化は、下記 ja.wikipedia.org ＆ en.wikipedia.orgの意味と解していいかな？
　もしそうならば、存在例化とは 新しい定数記号cを導入できること
　”must be a new term”であること
　「証明の結論部にも現れてはならない」”it also must not occur in the conclusion of the proof”
　ってこと
2）ということは、存在例化で 記号cを導入することは、なんら新しいことを導入したのではなく
　単に、証明を読みやすく 簡明にするために 「存在記号 ∃ を消す」 が、しかし 結論には影響しない！
　ってことでは？
3）ならば、”存在例化により選択関数f∈A'が存在する”という上記陳述が
　ナンセンスだと思うぜ

実際、解析概論でも、多変数関数論のテキストで良いが
「これが、存在例化でございます！」って、存在例化が威張っている証明ってあるかな？
（en.wikipedia では、”but its explicit statement is often left out of explanations”ってあるけど、所詮その程度のしろもの じゃないの？ｗ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AD%98%E5%9C%A8%E4%BE%8B%E5%8C%96
存在例化
存在例化（そんざいれいか、英: Existential instantiation, Existential elimination）[1][2][3]は、述語論理において、
(∃x)ϕ(x)
という形式を持った式が与えられると、新しい定数記号cについて
ϕ(c)を推論することができるという、妥当な推論規則のひとつである。この規則は、導入された定数cが、証明にはこれまで用いられてこなかった新しい項でなければならないという制約を有する。
また、証明の結論部にも現れてはならない。

https://.org/wiki/Existential_instantiation
Existential instantiation
In predicate logic, existential instantiation (also called existential elimination)[1][2] is a rule of inference which says that, given a formula of the form
(∃x)ϕ(x), one may infer
ϕ(c) for a new constant symbol c. The rule has the restrictions that the constant c introduced by the rule must be a new term that has not occurred earlier in the proof, and it also must not occur in the conclusion of the proof. It is also necessary that every instance of
x which is bound to
∃x must be uniformly replaced by c.
, but its explicit statement is often left out of explanations.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/941

945: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/02/15(土) 09:35:15.64 ID:XknlDm4+

>>932
(引用開始)
>>26
（引用開始）
(3(Zornの補題) ⇒ 1(選択公理))
{X_λ}_{λ∈Λ}を非空集合の族とする．
A := { g:Σ→∪_{λ∈Λ} X_λ | Σ⊂Λ, 任意のλ∈Σに対してg(λ)∈Xλ }
としてAに ⊂ で順序を入れる．B⊂Aを部分全順序集合とするとき ∪g∈B g ∈ A は B の上界である．
即ち A はZornの補題の仮定を満たす．故に極大元 f∈A を持つ．
もし dom(f)≠Λ であれば f が極大であることに反するので dom(f)=Λ となる．故に f は選択関数である．
（引用終了）
選択関数はAの元なんだから、Aがwell-definedなら選択関数の存在は自明だけどその証明が無いのでは？
(引用終り)

それ >>26 https://alg-d.com/math/ac/wo_z.html が、元のリンクだね？ alg-d 壱大整域さんに質問しなよ、喜んでくれるだろう
それとは別に、他の証明と照らし合わせるのが良い、というか 常用のスジだ
下記 ”Zorn's lemma implies the axiom of choice”の証明で
集合族で 和集合”its union U:=⋃X”が一つのスジだ
それで、下記 関数 f:X→U を導入する。これが、最後 選択関数になるんだろう
Zorn's lemma に乗せるために、順序 ”It is partially ordered by extension; i.e.,”を導入する
で、この順序で ”The function g is in P and f<g, a contradiction to the maximality of f.”として 結局 fが極大で
即ち fが 選択関数だと

繰り返すが、上記 alg-d 壱大整域さん と 下記 en.wikipedia を見比べてみな

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Zorn%27s_lemma
Zorn's lemma

Zorn's lemma implies the axiom of choice
A proof that Zorn's lemma implies the axiom of choice illustrates a typical application of Zorn's lemma.[17]

Given a set X of nonempty sets and its union
U:=⋃X
(which exists by the axiom of union), we want to show there is a function
f:X→U such that
f(S)∈S for each
S∈X. For that end, consider the set
P={f:X′→U∣X′⊂X,f(S)∈S}.
It is partially ordered by extension; i.e.,
f≤g if and only if
f is the restriction of g. If
fi:Xi→U
is a chain in P, then we can define the function f on the union
X′=∪iXi by setting
f(x)=fi(x) when
x∈Xi. This is well-defined since if i<j, then
fi is the restriction of fj . The function
f is also an element of P and is a common extension of all fi's. Thus, we have shown that each chain in
P has an upper bound in P. Hence, by Zorn's lemma, there is a maximal element
f in P that is defined on some X′⊂X. We want to show
X′=X. Suppose otherwise; then there is a set
S∈X−X′. As S is nonempty, it contains an element s. We can then extend
f to a function g by setting g|X′=f and g(S)=s. (Note this step does not need the axiom of choice.) The function g is in P and f<g, a contradiction to the maximality of f. ◻

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/945

950: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/02/15(土) 09:56:20.09 ID:XknlDm4+

>>945 補足
>A proof that Zorn's lemma implies the axiom of choice illustrates a typical application of Zorn's lemma.[17]

えーと、最後の [17]を見ると下記だ
Notes
17  Halmos 1960, § 16. Exercise.
References
Halmos, Paul (1960). Naive Set Theory. Princeton, New Jersey: D. Van Nostrand Company.
https://en.wikipedia.org/wiki/Naive_Set_Theory_(book)
Naive Set Theory (book)

うーんと、海賊版を探すと
Naive set theory.
Halmos, Paul R. (Paul Richard), 1916-2006.
Princeton, N.J., Van Nostrand, [1960]

があった (下記 文字化けと乱丁ご容赦)
Sec. 16  ZORN'S LEMMA p65
Exercise.
Zorn's lemma is equivalent to the axiom of choice.
[Hint
for the proof: given a set X, consider functions /such that dom/C
(P(X), ran/dX, and f(A)eA for all A in dom/; order these functions
by extension, use Zorn's lemma to find a maximal one among them, and
prove that if/ismaximal, then dom/= <P(X)
—
{0}.] Consider each
of the following statements and prove that they too are equivalent to
the axiom of choice.
(i)
Every partially ordered set has a maximal
chain (i.e., a chain that
is
not
a
proper subset of any other chain).
(ii)
Every chain in
a
partially ordered set
is
included in some maximal chain.
(iii) Every partially ordered set in which each chain has
a
least upper
bound has a maximal element.
(引用終り)

か
解答はないかな？・・・ ないね・・  ；ｐ）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/950

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