ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ13

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411(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 02/09(日)10:39 ID:lz6oAIdr(5/12) AAS
>>404
＞数の歴史とは、ないなら作ってしまえ、という歴史の積み重ね

ふっふ、ほっほ
おサル、いま良いことを一つ言ったね；ｐ）

　>>10より
・自然数 ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0
　『形式的な定義自然数の公理
　以上の構成(注ノイマン構成)は、自然数を表すのに有用で便利そうな定義を選んだひとつの結果であり、他にも自然数の定義は無限にできる。これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。
　例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
　0 := {}
　1 := {0} = {{}}
　2 := {1} = {{{}}}
　3 := {2} = {{{{}}}}
　と非常に単純な自然数になる』

この方式では、
n → ∞（=ω）で、 ω := {・・{{{}}}・・}_ω （つまりカッコ{}の無限多重）が実現できない

しかしだから、lim n → ω ω := {・・{{{}}}・・}_ω と定義してしまえ！
は、ありだよ

これは、下記一点コンパクト化の例でもある

(参考)
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
コンパクト化
アレクサンドロフの一点コンパクト化
普遍性
コンパクトではない空間の一点コンパクト化
X∗がハウスドルフ空間であれば以下の性質（普遍性）を満たす事が知られている：
アレクサンドロフの一点コンパクト化の普遍性
略す
一点コンパクト化の例
自然数全体（離散位相）
N の一点コンパクト化は
N に最大元
ω を付け加えた順序集合
N∪{ω} の順序位相と同相になる。

412(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 02/09(日)10:47 ID:lz6oAIdr(6/12) AAS
>>410
(引用開始)
＞可算選択の公理じゃ「実数Rは有理数Qの完備化」はとてもとてもいえない
　では
　君が考える実数Rの定義から、完備化の反例、つまり
　実数のコーシー列なのに、実数の極限を持たないもの
　を１つ示してくれるかな
(引用終り)

おサル
君が何を言っているか不明だが
まず、>>408 に示した
archive.wikiwix.com/cache/display2.php?url=http%3A%2F%2Fwww.emis.de%2Fjournals%2FCMUC%2Fpdf%2Fcmuc9703%2Fherrli.pdf
Comment.Math.Univ.Carolin. 38,3(1997)545–552 545
Choice principles in elementary topology and analysis Horst Herrlich
を、百回音読してね
その上で、Horst Herrlich が引用している全文献に目を通しなさいｗ；ｐ）
勉強が足りないよｗ；ｐ）

なお >>387より
＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”)

とある通り、『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』は、後で取り上げる予定
慌てる乞食は貰いが少ないｗ；ｐ）

413: 02/09(日)11:23 ID:h/rU8tE5(2/6) AAS
1は
"Choice principles in elementary topology and analysis Horst Herrlich"
を理解してないだろ。理解してると言うなら、自分の言葉で要約してみな。
どうせ、「選択公理なしでは拙いという例」を必死に探した結果
出てきただけの文書でしょ。実際、何が拙いのか、ピンポイントで
抽出できないというのは、理解してないってこと。

414: 02/09(日)11:29 ID:h/rU8tE5(3/6) AAS
勿論、「ZFで実数が定義できない」とか、「完備性の要件をみたさない」
なんてバカなことが書いてあるわけがない。

415: 02/09(日)11:31 ID:h/rU8tE5(4/6) AAS
ちなみにQの完備化としては、p進数体Q_pもありますから。

416(1): 02/09(日)11:32 ID:h/rU8tE5(5/6) AAS
Q_pの発見は、数学上の最大の発見の一つだと思う。

417: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 02/09(日)11:44 ID:lz6oAIdr(7/12) AAS
>>387 つづき
>ヴィタリ集合加法の商群 R/Q (つまり、有理数分の差を持つ実数同士を集めた同値類による剰余群)
>で、Q→U ( 10進の有限小数環（有限小数の"U"ね）) を考える

Q→U ( 10進の有限小数環（有限小数の"U"ね）) を考えるのは、布石でして
”数学での抽象化と具体化の行き来”>>347 の応用で
まず、抽象的な下記の game1を、まず扱う（game1は、箱入り無数目と同じ rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/ ）
”Player 1 chooses a countably infinite sequence x = (xn)n∈N of real numbers”

ここで
x = (xn)n∈N を、形式的冪級数に移して考える（余談：形式的冪級数は、数え上げで有用（下記））
記号を、下記にならって
R係数の形式的冪級数R[[X]]、多項式環 R[X] とする
下記の game1のしっぽ同値は、f1[[x]],f2[[x]] ∈R[[X]]で
f1[[x]] - f2[[x]] :＝f(x)∈R[X]（多項式）となることだ
つまり、f1[[x]],f2[[x]]である n+1次より上の項が一致していて差を取ると、n次多項式f(x)に落ちる

決定番号とは、f1[[x]],f2[[x]] である項から上が一致していることだから
それは n+1次より上の項の一致で、決定番号d:=n+1 です
（下記 game1 では "Let X = R^N be the set of countable infinite sequences of real numbers. Consider the equivalence relation on X where x ∼ x′ if and only if there is N such that xn = x′ n for all n ≥ N (i.e., x and x′ coincide except for finitely many coordinates). "の部分。なお R^Nとn ≥ Nとで Nは別物で PDF上ではフォントを変えて記述しているよ）

なので、決定番号d:=n+1 を考えることは、即ち n次多項式f(x) の次数nを考えることだ
ところで、下記都築暢夫広島大によれば、”多項式環F[x]. F[x]nは1,x,··· ,xnを基底に持つn+1次元線形空間である
F線形空間F[x]は任意の自然数より大きい次元の部分空間を持つから無限次元である”
とある
だから、多項式環F[x]から何も考えずに一つ多項式f(x)を選ぶことは
即ち、無限次元の線形空間から一つのベクトルを選ぶことで
それって、普通に無限次元ベクトル（＝いかなる任意有限n より大という意味）で
多項式の次数は普通に無限次（＝いかなる任意有限n より大という意味）で
すよねｗ

一旦、ここまでを枕とするｗ；ｐ）

(参考)
www.ma.huji.ac.il/hart/
Sergiu Hart
www.ma.huji.ac.il/hart/#puzzle
Some nice puzzles:
www.ma.huji.ac.il/hart/puzzle/choice.pdf
Choice Games November 4, 2013
P1
Consider the following two-person game game1:1 • Player 1 chooses a countably infinite sequence x = (xn)n∈N of real numbers, and puts them in boxes labeled 1,2, ...

つづく

418: 02/09(日)11:44 ID:inAESbT0(1/4) AAS
フン

419(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 02/09(日)11:45 ID:lz6oAIdr(8/12) AAS
つづき

外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
形式的冪級数
A を可換とは限らない環とする。A に係数をもち X を変数（不定元）とする
形式的冪級数全体からなる集合 A[[X]] に和と積を定義して環の構造を与えることができ、これを形式的冪級数環という

外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
多項式環
体上の一変数多項式環 K[X]

（rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/16 より再録）
www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/algebra/member/files/tsuzuki/04-21.pdf
代数学I 都築暢夫広島大
F を体とする
P3
例3.2.多項式環F[x]. F[x]nは1,x,··· ,xnを基底に持つn+1次元線形空間である
F線形空間F[x]は任意の自然数より大きい次元の部分空間を持つから無限次元である
証明. 1,x,··· ,xnがF[x]nの基底になること: 1,x,··· ,xnがF[x]nを生成することは明らか
a0,··· ,an∈Fに対してa0+a1x+···+anxn=0とするとき、a0=a1=···an=0となることをnに関する帰納法で証明する
n=0のときは明らか。n−1まで成り立つとする。x=0とすると、a0=0である
(a1+ a2x+···+anxn−1)x=0より、a1+a2x+···+anxn−1=0である
帰納法の仮定から、a1=···an=0となる。よって、1,x,··· ,xnは一次独立である
したがって、1,x,··· ,xnはF[x]nの基底になる■

maspypy.com/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F%E3%83%BB%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E7%9A%84%E3%81%B9%E3%81%8D%E7%B4%9A%E6%95%B0%E6%95%B0%E3%81%88%E4%B8%8A%E3%81%92%E3%81%A8%E3%81%AE%E5%AF%BE%E5%BF%9C%E4%BB%98%E3%81%91
maspyのHP 2023.09.25
[多項式・形式的べき級数]
（１）数え上げとの対応付け
（２）式変形による解法の導出
（３）線形漸化式と形式的べき級数
概要
ある種の数え上げの計算は、多項式・形式的べき級数に対する計算と結び付けることができます。数え上げの問題を、多項式・形式的べき級数に対する計算と読み替えて、代数的な式変形により答を得る手法が、競技プログラミングにおいても注目され始めているようです
(引用終り)
以上

420(1): 02/09(日)11:56 ID:inAESbT0(2/4) AAS
418-->416

421: 02/09(日)12:01 ID:h/rU8tE5(6/6) AAS
>>420
なんだ、「御大」はやっぱりp進数体の重要性が分かってないの？
ってことは、「昔のひと」は知らなかった未知の宝が埋まってる可能性大だなｗ

422(1): 02/09(日)12:03 ID:erxXzwp/(1/23) AAS
>>411
>しかしだから、lim n → ω ω := {・・{{{}}}・・}_ω と定義してしまえ！
>は、ありだよ
{・・{{{}}}・・}_ωは集合なの？　集合ならその元は何？

423: 02/09(日)12:04 ID:inAESbT0(3/4) AAS
formal principleの特別な場合
ファルティングスもその辺から出発した

424: 02/09(日)12:05 ID:erxXzwp/(2/23) AAS
>>411
まさかそういう考察無しに口から出まかせで言ってないよね？
じゃあ逃げずに答えてね

425: 02/09(日)12:08 ID:inAESbT0(4/4) AAS
難しいな

426: 02/09(日)12:19 ID:erxXzwp/(3/23) AAS
>>412
>>実数のコーシー列なのに、実数の極限を持たないもの
>>を１つ示してくれるかな
>君が何を言っているか不明だが
君、実数知らないの？　コーシー列知らないの？　数列の極限知らないの？
何を言ってるか不明ってことはそういうことだよね？

427(1): 02/09(日)12:40 ID:erxXzwp/(4/23) AAS
>>422
どうせおサルさんは逃げるので代わりに答えてあげよう。

{・・{{{}}}・・}_ωが集合であると仮定すると、その元は一番外側の括弧を外したもの。
しかしωは後続順序数ではないのでその前者は存在しない。よって一番外側の括弧を外すことができない。
集合なのに一番外側の括弧を外すことができないのは矛盾だから、集合であるとした仮定が誤り。
つまり
>しかしだから、lim n → ω ω := {・・{{{}}}・・}_ω と定義してしまえ！
は、ある不明なものを別の不明なもので定義しただけであり、結局何の定義にもなっていない。

428: 02/09(日)14:19 ID:yPVowpRU(1/2) AAS
>抽象性はただの衒学
いかにも抽象性を理解してない人が言いそうな発言だね。
理論の抽象性が高いほどその理論の適用範囲は広くなる。
例えば線型代数は線型性を満たすあらゆる対象に適用可能。数列でも微分方程式でも体でも。

429: 02/09(日)16:08 ID:KVhWlXEd(17/26) AAS
>>411
> n → ∞（=ω）で、 ω := {・・{{{}}}・・}_ω （つまりカッコ{}の無限多重）が実現できない
> しかしだから、lim n → ω ω := {・・{{{}}}・・}_ω と定義してしまえ！は、ありだよ
> これは、下記一点コンパクト化の例でもある
　正真正銘の馬鹿ｗ

　ωを実現する方法はあるが、エテ公の貴様が言ってる方法ではない

　さすが大学１年の数学が理解できない馬鹿　平気でうそをつく　
　ヒトになれぬエテ公とはあわれなものよ

430: 02/09(日)16:12 ID:KVhWlXEd(18/26) AAS
>>412
> 君が何を言っているか不明だが
　なら数学は無理だからあきらめな
> まず、・・・を、百回音読してね
　読んだ結果、
「可算選択の公理じゃ「実数Rは有理数Qの完備化」はとてもとてもいえない」
　といいきってみせたのだから、完備性の反例、すなわち
　「実数のコーシー列なのに、実数の極限を持たないもの」
　があるんだろ？　さっさと示せよ、エテ公

431: 02/09(日)16:20 ID:KVhWlXEd(19/26) AAS
> 慌てる乞食は貰いが少ない
　テキストを読んで理解する労力を惜しんで
　検索で見つけた文章を読まずに丸コピペする
　検索コピペ乞食は ◆yH25M02vWFhP 貴様だろ

432(1): 02/09(日)19:10 ID:yPVowpRU(2/2) AAS
>>402
そうだね。
実数を「実数の公理」で定義した方が諸性質の証明は楽。尚且つ有理コーシー列を用いて実際に構成出来るから、ただの「絵に描いた餅」でないことも示せる。

433: 02/09(日)20:01 ID:KVhWlXEd(20/26) AAS
>>432
論理を使う意味はまさにそこにある
具体物を扱う芸（つまり計算）に固執するのは
ヒトの知恵を持てぬエテ公

工学部はエテ公に芸を仕込む場所
理学部はヒトに知恵を授ける場所

434(5): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 02/09(日)20:08 ID:lz6oAIdr(9/12) AAS
>>427
(引用開始)
{・・{{{}}}・・}_ωが集合であると仮定すると、その元は一番外側の括弧を外したもの。
しかしωは後続順序数ではないのでその前者は存在しない。よって一番外側の括弧を外すことができない。
集合なのに一番外側の括弧を外すことができないのは矛盾だから、集合であるとした仮定が誤り。
つまり
>しかしだから、lim n → ω ω := {・・{{{}}}・・}_ω と定義してしまえ！
は、ある不明なものを別の不明なもので定義しただけであり、結局何の定義にもなっていない。
(引用終り)

良いんじゃね？それで
・ZFC で、ゲーデルの不完全性定理の示すところ、ZFCで否定も肯定もできない命題が存在するよね
　だから、”lim n → ω ω := {・・{{{}}}・・}_ω と定義してしまえ！”はあり(ZFCの外の存在としてでも)
・そもそもが、無限公理についてもデデキントは ”無限集合の存在”が証明できると考えていたのです（下記渕野）
・しかし、”無限集合の存在”は、他の公理から証明することができないとなって
　”無限集合の存在”の公理を置いた（いわゆる無限公理）
・「無限とはなんぞや？」だが、”無限”を言葉で書くとまずい
　言葉で書くと、その書いたことばをまた定義しなければならない・・と無限に後退してしまう
　だから、”無限集合”を公理としておいた
・だったら、それに準じて必要ならば ”lim n → ω ω := {・・{{{}}}・・}_ω と定義してしまえ！”は、ありだろ？
　それが、従来の集合と異なる？　それがどうした？
　無限公理の示す無限集合はそれ以前の有限集合と異なる性質を持つよｗ；ｐ）

(参考)
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
数理解析研究所講究録 2011年
Dedekindの数学の基礎付けと集合論の公理化
渕野昌神戸大学

Ｐ173
3 無限の存在証明

晩年のDedekind が，無限の存在証明 ([3] の66.)の残ったままのテキストをこの再版に回してしまったことの背景だったのではないだろうか．
ただし，Dedekindの名誉のために付け加えておくと，1911年の時点では，無限の存在が集合論の他の公理から独立であることは，当時の若い集合論の研究者たちすら，まだ完全には把握しきれていなかった可能性がある．たとえば，Zermelo文[18]の公理系とよばれることになる体系の原形はで発表されているが，その初めで，Zermelo Zermeloは，
略す
と書いているし，Zermelo [18],下線の公理の命題の間の独立性についての，より踏み込んだ議論は，Fraenkelらである．無限公理の1922年の論文[7]までなされていないように思えるか(無限集合の存在を主張する公理)性はの集合論の他の公理からの独立(集合論のすべての公理を含む体系の中で), Hω (hereditarily f initeな集合の全体)と，この上に$\in$関係を制限したものの組からなる構造を作ると，そこでは，無限公理以外の集合論のすべてが成り立つことが確かめられ，そのことから「集合論の公理系が無矛盾なら，集合論の公理系から無限公理を除いた体系から無限公理は導かれない」ことが導かれるとして示すことができる．もちろん，[集合論の公理系が無矛盾なら」は，不完全性定理以降の時代に生きる我々の後知恵であるが(9),
略す
(引用終り)

435: 02/09(日)20:15 ID:KVhWlXEd(21/26) AAS
>>434
>>>lim n → ω ω := {・・{{{}}}・・}_ω と定義してしまえ！
>>は、ある不明なものを別の不明なもので定義しただけであり、
>>結局何の定義にもなっていない。
>良いんじゃね？それで
だめだろ　それじゃ
定義とは何かも知らぬエテ公は山に帰れ

436: 02/09(日)20:18 ID:KVhWlXEd(22/26) AAS
>>434
> ゲーデルの不完全性定理の示すところ、
> ZFCで否定も肯定もできない命題が存在するよね
> だから、
> ”lim n → ω ω := {・・{{{}}}・・}_ω と定義してしまえ！”
> はあり

だからの前後が繋がんねえよバカ
論理が判らぬエテ公は山に帰れ
二度とゲーデルの名前を口にするんじゃねえ
焼いて食っちまうぞ

437: 02/09(日)20:21 ID:KVhWlXEd(23/26) AAS
>>434
> そもそもが、無限公理についてもデデキントは
> ”無限集合の存在”が証明できると考えていたのです
> しかし、”無限集合の存在”は、他の公理から証明することができないとわかって
> ”無限集合の存在”の公理を置いた（いわゆる無限公理）

だから何？
正則性公理と矛盾する定義をする馬鹿はいねえよ
六甲山のエテ公の貴様以外にはな！

438: 02/09(日)20:26 ID:KVhWlXEd(24/26) AAS
>>434
> 「無限とはなんぞや？」だが、
> ”無限”を言葉で書くとまずい
> 言葉で書くと、その書いたことばをまた定義しなければならない・・
> と無限に後退してしまう
> だから、”無限集合”を公理としておいた
> だったら、それに準じて必要ならば
> ”lim n → ω ω := {・・{{{}}}・・}_ω と定義してしまえ！”
> は、ありだろ？
> それが、従来の集合と異なる？　それがどうした？

　ないな
　正則性公理と矛盾するだろが、タコ！

　正則性公理を否定するというなら構わんが、
　そのかわり∈帰納法は使えなくなるぞ

　そういう影響を全部理解していってんのか？タコ！

439: 02/09(日)20:29 ID:KVhWlXEd(25/26) AAS
「任意の正方行列は逆行列を持つ正則行列である」とか
「ZFで通常の実数の定義をしても、実数のコーシー列が極限を持つとは証明できない」とか
根拠もなく口から出まかせいうエテ公は数学板に書き込むんじゃねえ

440: 02/09(日)21:13 ID:erxXzwp/(5/23) AAS
>>434
>それが、従来の集合と異なる？　それがどうした？
ZFになぜ正則性公理が存在しているか考えたことも無いおサルさんが、正則性公理違反？上等だ！と、開き直っちゃったとさ

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