[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ13 (1002ﾚｽ)
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116(6): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 02/04(火)10:56 ID:+HgMDnV2(1/11) AAS
>>111 補足
これ、典型的な存在定理（公理）の使い方
具体的な R2の線形空間の 二つのベクトル (1,1), (−1,2) が、基底になっている
言い換えると、 (1,1), (−1,2) を、基底に取れる
証明を見ると、背後の数学の構造が分かる
証明から、基底の二つのベクトル が、かなり自由に選択できることが分かる
典型例は、 (1,0), (0,1) だが、これが 一例にすぎないことも分かる
選択公理は、選択関数の存在しか言わないが、選択が具体的であることを妨げない
(1,1), (−1,2) を選択しようが、 (1,2), (−3,2) を選択しようが、 (1,0), (0,1) を選択しようが、かまわない
また、ある具体的な対象に対して、存在定理（公理）を適用して 分かること（主張できること）があるんだね
これ、典型的な存在定理（公理）の使い方
117(1): 02/04(火)11:19 ID:jVoKXl5z(1/2) AAS
>>116
> 背後の数学の構造
御託を並べる前に>>113に答えてな
> (1,1), (−1,2) を選択しようが、 (1,2), (−3,2) を選択しようが、 (1,0), (0,1) を選択しようが、かまわない
(1,-1)と(-1,1)だったら？ あかんやろ
で、R^3のとき(2,-1,-1),(-1,2,-1),(-1,-1,2)だったら？
で、R^Nのとき、偶数番目の成分だけ1で、あと0のベクトルだったら？ 全部で可算個だぜ？
118(1): 02/04(火)11:21 ID:jVoKXl5z(2/2) AAS
◆yH25M02vWFhPは、次元定理の「背後の数学の構造」が全く分かってない
だから>>115みたいなことを平気で言う
次元定理のステートメント、確認してみ？
おまえが想像してるものと全然違うから
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
119(1): 02/04(火)11:21 ID:OopCfj4Z(1/7) AAS
>>117
その御託がわからない
120: 02/04(火)11:27 ID:kyySIsuH(2/19) AAS
>>116
>選択公理は、選択関数の存在しか言わないが、選択が具体的であることを妨げない
選択関数を具体的に構成できるケースにおいてはそもそも選択公理を仮定する必要が無い。
根本的に分かってないね。
121: 02/04(火)11:31 ID:OopCfj4Z(2/7) AAS
わからない
122: 02/04(火)11:35 ID:kyySIsuH(3/19) AAS
>>116
>選択公理は、選択関数の存在しか言わないが、選択が具体的であることを妨げない
存在しか言わないなら妨げないことは自明。
自明なことをさも価値ありげに語ってあなたは馬鹿なんですか？
123: 02/04(火)11:36 ID:OopCfj4Z(3/7) AAS
それがわからない
124: 02/04(火)11:38 ID:kyySIsuH(4/19) AAS
>>116
>ある具体的な対象に対して、存在定理（公理）を適用して 分かること（主張できること）があるんだね
選択関数の存在公理を適用すれば確率1-εで勝てることが分かる。
10年がかりで分からなかった人もいるようだけど。
125: 02/04(火)11:40 ID:kyySIsuH(5/19) AAS
>>116
>基底の二つのベクトル が、かなり自由に選択できることが分かる
今更？ｗ 大学1年のとき何を勉強したの？
126: 02/04(火)11:45 ID:OopCfj4Z(4/7) AAS
真意が
127: 02/04(火)11:52 ID:kyySIsuH(6/19) AAS
>>116
>選択公理は、選択関数の存在しか言わないが、選択が具体的であることを妨げない
>(1,1), (−1,2) を選択しようが、 (1,2), (−3,2) を選択しようが、 (1,0), (0,1) を選択しようが、かまわない
まったくトンチンカン。
基底が一つに限らないことと選択公理はまったく無関係。
そもそも有限次元線型空間の基底の存在証明に選択公理不要。
128: 02/04(火)11:54 ID:OopCfj4Z(5/7) AAS
わからない
129(2): 02/04(火)11:55 ID:pqcYcNXl(1) AAS
>>119
↓はあなたにとって正しいの？
「空間の次元の濃度がＯで
濃度Ｏのベクトルの集合Ｂが線形独立なら
それだけでＢは基底だといえる」
130: 02/04(火)11:59 ID:OopCfj4Z(6/7) AAS
正誤の問題？
131(1): 02/04(火)12:29 ID:ciXluVIY(1) AAS
>>129の「」には反例がある
つまり、線形空間の次元が無限濃度の場合
単に同じ濃度の線形独立なベクトルが張る空間が
元の空間より真に小さい場合があり得る
だから次元定理はもっと精密な言い方をしてるが
◆yH25M02vWFhPは勝手に粗視化してる
有限次元でOKだから無限次元でもそうなる、
と考えるのはあさはか
132: 02/04(火)12:54 ID:DtP2sW/7(1/2) AAS
>有限次元でOKだから無限次元でもそうなる、
>と考えるのはあさはか
だから、有限バカ一代と呼ばれる
133: 02/04(火)12:59 ID:kyySIsuH(7/19) AAS
無限列にも最後の項がある
決定番号は無限大である
無限個の元を好きな順番に整列できる
とも言ってたねｗ
134(1): 02/04(火)13:02 ID:6TW5wyv6(1/3) AAS
＞無限個の元を好きな順番に整列できる
これは選択関数次第という意味ではウソではない
ただ、選択関数を１つ決めてしまったらもう任意性はないけど
ついでにいうと、可算だからといって、整列が必ずωと同型になる、なんていえない
可算順序数は無数にあるから（それこそ非可算個ある）
135: 02/04(火)13:09 ID:kyySIsuH(8/19) AAS
>これは選択関数次第という意味ではウソではない
選択関数を好きに構成できると？
好きな順番に整列できるってことはそういうことだよ
136(1): 02/04(火)13:16 ID:DtP2sW/7(2/2) AAS
>>134
たとえば
>可算順序数は無数にあるから（それこそ非可算個ある）
1<4<...<ω_1<2<5<...<ω_2<3<6<...<ω_3
は整列順序で合ってる？
137(2): 02/04(火)13:23 ID:951e302P(1) AAS
＞選択関数を好きに構成できると？
「構成」はできない
ただ、考えられる選択関数は無数にある
138(1): 02/04(火)13:25 ID:kyySIsuH(9/19) AAS
>>137
それだと好きな順番での整列は無理だね
139(1): 02/04(火)13:31 ID:OopCfj4Z(7/7) AAS
わからない
140(1): 02/04(火)13:35 ID:R6/c8E8d(1/2) AAS
>>136
3<5<… <6<10<… <12<20<…
<2^3<2^5<… <2^6<2^10<… <2^12<2^20<…
<2^2^3<2^2^5<… <2^2^6<2^2^10<… <2^2^12<2^2^20<…
も順序数ω^ω（可算）
141(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 02/04(火)16:04 ID:+HgMDnV2(2/11) AAS
皆さま お楽しみ中、お邪魔です ；ｐ）
>>118
>◆yH25M02vWFhPは、次元定理の「背後の数学の構造」が全く分かってない
>だから>>115みたいなことを平気で言う
>次元定理のステートメント、確認してみ？
>おまえが想像してるものと全然違うから
>外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
えーと、おサルさん>>7-10
いきなり 難しい定理のサイトに飛んで 消化不良ですよ
まず 順番として 下記 高校数学の美しい物語 次元定理の意味，具体例，証明
さらに 数学の風景 線形写像の次元定理dim V = rank f + dim ker fの証明
を見なさい。後者は、図解が美しいよ。
その上で 英 wikipedia
”等しい有限次元のベクトル空間の線型変換の場合、単射性または全射性のいずれかが全単射性を意味することになります。
（原文 It follows that for linear transformations of vector spaces of equal finite dimension, either injectivity or surjectivity implies bijectivity.）”
が、キモです。百回音読しましょうねｗ ；ｐ）
(参考)
外部ﾘﾝｸ:manabitimes.jp
高校数学の美しい物語
次元定理の意味，具体例，証明 2021/03/07
行列における次元定理
A を m×n 実行列とするとき，
rankA+dim(KerA)=n
目次
次元定理について
具体例
次元定理のイメージ
次元定理の証明
次元定理について
rankA は
A のランク（階数）です。→行列のランクの意味（８通りの同値な定義）
dim は次元，
KerA は
A のカーネル（核）です。→行列のカーネル（核）の性質と求め方
「ランク，次元，カーネルってなんだ，全部初耳だよ」って方は，以下の具体例とイメージを見てなんとなく雰囲気をつかんでください。
次元定理は行列に対してではなく一般の線形写像について述べられることも多いです。ただし意味はほとんど同じなので，行列の場合できちんと理解しておけばOKです。
Wikipediaでは「階数・退化次数の定理」と呼ばれています。
次元定理の証明（分かり易い 原文参照請う）
略す
外部ﾘﾝｸ:mathlandscape.com
数学の風景
線形写像の次元定理dim V = rank f + dim ker fの証明 2023.05.10
証明
Imf,Kerf はベクトル空間であったことに注意(→ 線形写像の像(Im),核(Ker)の定義とそれが部分空間になる証明)。
V の基底になっていることを示すには，
それらが一次独立であること
任意の v∈V がそれらの一次結合でかけること
を示せばよい。順番に示していこう。
略す
つづく
142: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 02/04(火)16:04 ID:+HgMDnV2(3/11) AAS
つづき
英 wikipedia
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Rank–nullity theorem
(google訳)
ランク-ヌル定理（階数零定理）
階数零定理は線型代数学の定理であり、次のことを主張します。
略す
したがって、等しい有限次元のベクトル空間の線型変換の場合、単射性または全射性のいずれかが全単射性を意味することになります。
（原文 It follows that for linear transformations of vector spaces of equal finite dimension, either injectivity or surjectivity implies bijectivity.）
再定式化と一般化
この定理は、ベクトル空間の場合の代数学の第一同型定理の記述であり、分割補題に一般化されます。
より現代的な言葉で言えば、この定理はベクトル空間の短完全列はそれぞれ分割される、と表現することもできる。
略す
A third fundamental subspace
When T:V→W is a linear transformation between two finite-dimensional subspaces, with
n=dim(V) and m=dim (W) (so can be represented by an m×n matrix M),
the rank–nullity theorem asserts that if T has rank r, then n−r is the dimension of the null space of M, which represents the kernel of T.
In some texts, a third fundamental subspace associated to T is considered alongside its image and kernel: the cokernel of T is the quotient space
W/Im(T), and its dimension is m−r.
This dimension formula (which might also be rendered
dim Im(T)+dimCoker(T)=dim(W)
together with the rank–nullity theorem is sometimes called the fundamental theorem of linear algebra.[7][8]
再定式化と一般化
この定理は、ベクトル空間の場合の代数学の第一同型定理の記述であり、分割補題に一般化されます。
より現代的な言葉で言えば、この定理はベクトル空間の短完全列はそれぞれ分割される、と表現することもできる。
0→U→V→R→0
はベクトル空間の短完全列 であるので、
U⊕R≅Vしたがって
dim（U）+ dim（R）=dim（V）.
略す
We see that we can easily read off the index of the linear map
T from the involved spaces, without any need to analyze
T in detail. This effect also occurs in a much deeper result: the Atiyah–Singer index theorem states that the index of certain differential operators can be read off the geometry of the involved spaces.
つづく
143: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 02/04(火)16:04 ID:+HgMDnV2(4/11) AAS
つづき
ついでに
独 wikipedia
外部ﾘﾝｸ:de.wikipedia.org
Rangsatz
Der Rangsatz oder Dimensionssatz ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Er zeigt einen Zusammenhang zwischen den Dimensionen der Definitionsmenge, des Kerns und des Bildes einer linearen Abbildung zwischen zwei Vektorräumen auf.
（google 英訳）
Table of contents
1 Sentence
2 Proofs
2.1 Proof of the Homomorphism Theorem
2.2 proof by basis completion
3 reversal
4 generalization
仏 wikipedia
外部ﾘﾝｸ:fr.wikipedia.org
Théorème du rang
（google 英訳）
Rank theorem
In mathematics , and more precisely in linear algebra , the rank theorem links the rank of a linear application and the dimension of its kernel . It is a corollary of an isomorphism theorem . It can be interpreted by the notion of linear application index .
In finite dimension, it allows in particular to characterize the invertibility of a linear application or of a matrix by its rank.
(引用終り)
以上
144: 02/04(火)16:22 ID:Sli2Vii+(1/2) AAS
>>141
お○○はあんただろ
>難しい定理
難しい？君にとって？
数学科の学生にとっては易しいけどな
そうでないなら数学科卒業できない
>線形写像の次元定理dim V = rank f + dim ker fの証明
rank f=dim im f だから
dim V = dim im f + dim ker f
有限次元の場合、dim V = dim im f だったら
dim ker f=0 だから R^nの標準基底の像が線形独立なら
当然基底になる
し・か・し、無限次元ではそんなことは言えない
というのは∞＝∞＋ｘのとき、ｘ＝０なんていえないから
>”等しい有限次元のベクトル空間の線型変換の場合、
>単射性または全射性のいずれかが全単射性を意味することになります。
>（It follows that for linear transformations of vector spaces of equal finite dimension,
>either injectivity or surjectivity implies bijectivity.）”
>が、キモです。百回音読しましょうね
何回音読しても証明が理解できないんなら
ヒトになれないただのサルだよ
145: 02/04(火)16:29 ID:Sli2Vii+(2/2) AAS
大学１年の４月で数学落ちこぼれた
実質高卒の工学部卒の社奴◆yH25M02vWFhPにとって
次元定理はチョー難しいんだとｗｗｗｗｗｗｗ
そりゃ数学板なんか全然無理だから
諦めて囲碁板にいきやがれ
外部ﾘﾝｸ:itest.5ch.net
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