スレタイ箱入り無数目を語る部屋29(あほ二人の”アナグマの姿焼き"Part3ｗ)

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295: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2025/09/24(水) 07:03:01.32 ID:j35MrpIq

転載
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/344
<純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）21>

補足
(引用開始)
いま、下記 都築暢夫 多項式環F[x]（今の場合R[x]）は、線形空間として（可算）無限次元だったことを思い出そう
無限次元線形空間から、作為をもって 有限次元の多項式を要素として 多項式を 選択することは可能だが
しかし、ランダムに 無限次元線形空間から 任意の要素を選べばどうなるか？
その答えは、無限次元線形空間とランダム性とは 馴染まないってことだね
（直観的には 無限次元空間だから 無限次元の要素であるべきだが 多項式でそれは成り立たないので 矛盾）
つまり、下記の非正則事前分布と同じで、非正則分布を成すので
コルモゴロフによる公理系 P(Ω)=1 （全事象Ωに1を与える）を満たすことが出来ない（ランダム性は考えられない）■
これが、箱入り無数目トリックです
(引用終り)

分りにくいので 補足しよう
いま、簡単に Ω=N={1,2,3,・・,n,・・・} 自然数全体
を考えよう
これは、下記で 離散一様分布{1,2,3,・・,n}で n→∞ の極限を考えることに相当する
1〜nの離散一様分布では、平均(期待値) E[X] (n+1)/2 だね
ここで、n→∞とすると 平均(期待値) E[X] →∞ と 無限大に発散する

つまり、自然数全体 N={1,2,3,・・,n,・・・}において
平均(期待値)は、 E[X] →∞に発散するのです （標準偏差も同様に →∞に発散する）

個々の元 n は 有限なのだが 上限がなく発散しているが ゆえに 平均(期待値) E[X] →∞に発散する
つまり、N={1,2,3,・・,n,・・・} から ランダム（無作為）に一つ元を選べば その期待値は →∞に発散する
一方、どの元ｎも有限
つまり、矛盾
よって、自然数全体N={1,2,3,・・,n,・・・}の ランダム(無作為)抽出は 不成立！■

(参考)
https://mathlandscape.com/unif-distrib/
mathlandscape.com
一様分布の定義と性質のわかりやすいまとめ〜離散型・連続型〜
2022.03.06
離散一様分布
定義（離散一様分布）
確率変数
X が 1,2,3,…,n 上離散一様分布 (discrete uniform distribution) に従うとは，
P(X=k)= 1/n (1≤k≤n)
となることである。
X=1,2,3,…,n となる確率が等しいということ
<一様分布の諸性質まとめ>
平均(期待値) E[X] (n+1)/2
標準偏差 1/2√{(n^2-1)/3}

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/295

330: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/10/01(水) 23:52:51.26 ID:Y4ope7xu

>>325 追加
>ロジックに傷がない理論は何通りもありうる

箱入り無数目の なかなか気づかない傷は、決定番号の分布が 裾が減衰しない分布（非正則>>295）で
従って、確率が考えられない(確率を考えてはいけない)ことです

下記の 裾の重い分布とPower law （べき乗則）で説明します

・確率分布の裾がガウス分布のように指数関数的に減衰する場合、平均値や標準偏差が求まります
　しかし、裾の重い分布では 平均値を持たなくなります （標準偏差も定義できない）
・これは　下記の （べき乗則）Power law で説明できる
　べき乗則 x^−kで k>2 の場合にのみ 平均値を持ちます
・もし x^−k でk=1の場合 は、積分値が発散します 即ち ∫ x=1〜∞ 1/x dx ＝∞ です
　この場合は、当然平均値も∞に発散します
　また、確率を考えること自身ができなくなります

ここが、箱入り無数目トリックです

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A3%BE%E3%81%AE%E9%87%8D%E3%81%84%E5%88%86%E5%B8%83
裾の重い分布あるいはヘヴィーテイルとは、確率分布の裾がガウス分布のように指数関数的には減衰せず[1]、それよりも緩やかに減衰する分布の総称。 また類似の用語に、ファットテイル、裾の厚い分布、ロングテール、劣指数的 (subexponential) などがある。

https://en.wikipedia.org/wiki/Power_law
Power law （べき乗則）
Lack of well-defined average value
A power-law x^−k has a well-defined mean over
x∈[1,∞) only if k>2, and it has a finite variance only if k>3; most identified power laws in nature have exponents such that the mean is well-defined but the variance is not, implying they are capable of black swan behavior.[2]
(google訳)
明確に定義された平均値の欠如
べき乗則 x^−k 明確に定義された平均値を持つ
x∈[1,∞) k>2 の場合にのみであり、有限分散となるのは k>3;自然界で確認されているべき乗法則のほとんどは、平均は明確に定義されているが分散は定義されていない指数を持ち、ブラックスワン挙動を起こす可能性があることを意味しています。[ 2 ]

The median does exist, however: for a power law x^ –k, with exponent ⁠k>1⁠, it takes the value 2^(1/(k – 1))xmin, where xmin is the minimum value for which the power law holds.[2]
(google訳)
しかし、中央値は存在します。べき乗則x^ – kの場合、指数は k>1 、2^(1/(k – 1))xminという値をとります。ここで、xmin はべき乗法則が成り立つ最小値です。[ 2 ]

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/330

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