スレタイ箱入り無数目を語る部屋29(あほ二人の”アナグマの姿焼き"Part3ｗ)

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83: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/06/03(火) 06:29:53.60 ID:ObiwjfR8

>>78-79 補足
旧ガロアスレで 2016/07 に”確率論の専門家”さんが来て、”そもそも時枝氏の勘違い”だと言った
（”当てられっこないという直感どおり，実際当てられないという結論が導かれる”と言っていた
　その理由は、決定番号 d_Xとd_Yがそもそも分布を持たない可能性すらある という（下記））
https://ａｉ.２ｃｈ．ｓｃ/test/read.cgi/math/1475822875/456
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む24 2016/10/16より
(引用開始)
532 返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/07/03(日) 23:15:17.47 ID:f9oaWn8A
>>530
>2個の自然数から1個を選ぶとき、それが唯一の最大元でない確率は1/2以上だ
残念だけどこれが非自明．
hに可測性が保証されないので，d_Xとd_Yの可測性が保証されない
そのためd_Xとd_Yがそもそも分布を持たない可能性すらあるのでP(d_X≧d_Y)≧1/2とはいえないだろう

535 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/07/03(日) 23:33:06.50 ID:f9oaWn8A
>>534
非可測であることに目をつぶって計算することの意味をあまり感じないな
直感的に1/2とするのは微妙．
むしろ初めの問題にたちもどって，無限列から一個以外を見たとこでその一個は決定できないだろうと考えるのが
直感的にも妥当だろう
(引用終り)

補足1
・hが、決定番号を決める 関数（これが非可測だという）
・d_Xとd_Yとが、時枝氏のいう決定番号>>1で、それぞれ 実数の可算無限列XとYとに対応している

補足2
・いま、”決定番号 d_Xとd_Yがそもそも分布を持たない”を掘り下げると
　>>1 で まず 有限nで 実数列の集合 R^nを考える.
　s = (s1，s2，s3 ，・・・，sn-1, sn)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・，s'n-1, s'n)∈R^nは，
　ある番号から先のしっぽが一致する とき同値s 〜 s'と定義すると
　有限nの場合、sn＝s'n である
　では、確率 P(sn-1＝s'n-1) はどうか？
　コイントスなら 1/2、サイコロなら1/6、もし実数r∈[0,1] なら0
　即ち、いまの場合 r∈R だから P(sn-1＝s'n-1)＝0
　よって、決定番号は分布を持たない
　よって、無限長の数列でも 分布を持たない
　言い換えれば、有限の決定番号d が得られる確率は0
（∵ 有限の決定番号d とは、d以降の d,d+1,d+2,・・・の無限個の数が 全て一致する場合であるから その確率は0 *）
　注 *) コイントス 1/2 の場合でも、無限個の数が 全て一致する 確率は0
・箱入り無数目>>1は、有限の決定番号dの大小比較による確率計算をしているが
　それは 確率0の世界の話（確率0は、ルベーグ測度論の零集合の中）
　100人の数学者も、無限列のしっぽ同値を使うので ルベーグ測度論の零集合の中 **)
　注 **)類似の例が、>>8 の 非正則分布の確率の話で
　全事象の確率は1であるというコルモゴロフの確率の公理に反する(根源事象の確率0)
　要するに、まっとうな確率計算ができない分布が 世には存在して、それを使う確率計算や
　100人の数学者の話は、ダメだってことです■

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/83

89: １３２人目の素数さん [] 2025/06/05(木) 07:42:59.36 ID:ELDakrES

>>87
>決定番号は定義から自然数。いかなる自然数も有限値だから決定番号が有限値である確率は1。

そこがトリックです
決定番号は、単なる自然数ではない
かつ、自然数Nが無限集合であることから、パラドックスが生じる
（例えば、下記のサンクトペテルブルクのパラドックス（確率のパラドックス）も、無限によるパラドックス）

いまの箱入り無数目において >>5の
http://www.ma.huji.ac.il/hart/puzzle/choice.pdf
Choice Games November 4, 2013 で
P2 game2 を流用し、少し改変する

P2”interval [0,1] and writes down its infinite decimal expansion 0.x1x2...xn..., with all xn ∈ {0,1,...,9}.”で
例えば、n=10の有限長を考える。この数列を 宝くじの番号として、10^10枚の宝くじを発行する
いま、当り番号が0.999 999 999 9 として、しっぽ同値の決定番号を使って、当りの金額を決める
もし、完全一致なら1等で 賞金1億円(決定番号1)
0.x1 99 999 999 9 で、x1≠9 のとき 2等で 1億円/10^1 (つまり1千万円で、総額約1億円)(決定番号2)
0.x1x2 9 999 999 9 で、x2≠9 のとき 3等で 1億円/10^2(つまり百万円で、総額約1億円)(決定番号3)
　・・・
0.x1x2x3x4x5x6x7 99 9 で、x7≠9 のとき 8等で 1億円/10^8(つまり1円で、総額約1億円)(決定番号8)
で、その他 x9≠9 や x10≠9 (決定番号9 以上)は、外れで 賞金なし

賞金総額約8億円で、当り券の枚数 ＝ 1億枚（10^8枚）
発行は 10^10 ＝ 100億枚で、1枚100円なら売り上げ1兆円
（もし 1枚1円に下げても売り上げ100億円）

さて、これで 発行枚数10^nで n→∞ （無限枚発行）とすると
当選確率は0だ
当りを有限だが大きなmとしても、無限枚の発行なら 当り確率0

なので、箱入り無数目は、あたかも 無限枚発行の宝くじで 「もし当りの くじが引けたら？」の "たら話"にすぎない
100人数学者の話も同様

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B5%E3%83%B3%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%9A%E3%83%86%E3%83%AB%E3%83%96%E3%83%AB%E3%82%AF%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9
サンクトペテルブルクのパラドックス（確率のパラドックス）
パラドックスの内容
数学的には、この種の問題では、賞金の期待値を算出し、参加費がその期待値以下であれば参加者は損しないと判断する。
しかし、この問題における賞金の期待値を計算してみると、その数値は無限大に発散してしまうのである。
略
ところが実際には、このゲームでは
1/2 の確率で1円、
1/4 の確率で2円、
1/1024 の確率で512円の賞金が得られるに過ぎない
（賞金が512円以下にとどまる確率が1023/1024）。
したがって、そんなに得であるはずがないことは直観的に分かる。
これが、この問題がパラドックスとされる所以である。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/89

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