スレタイ箱入り無数目を語る部屋29(あほ二人の”アナグマの姿焼き"Part3ｗ)

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291: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2025/09/23(火) 07:27:35.53 ID:odPafkyJ

転載
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/323-324
<純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）21>
2025/09/22(月)
>実数列の集合 R^Nを考える.
>s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^Nは，ある番号から先のしっぽが一致する∃n0：n >= n0 →>sn＝ s'n とき同値s 〜 s'と定義しよう(いわばコーシーのべったり版).

さて
実数列の集合 R^Nを Formal power series(＝形式的冪級数)と見る視点は
下記の en.wikipedia でも採用されている

記号を下記に倣い 実Rを環とみて R[[x]]を形式的冪級数環、R[x]を多項式環とする
時枝さんの同値類は 商 R[[x]]/R[x] に他ならない

形式的冪級数 F1(x)∈R[[x]] 多項式f(x)∈R[x] において
F1(x)と F(x)=F1(x)+f(x)とは、同じ同値類に属することは 明らか
つまり F1(x)を同値類の代表とすると 同値類は 代表F1(x)+多項式f(x)という構造を取る
：
この場合 f(x)の次数がn(つまりn次の係数an≠0 で an+1以降すべて0)
時枝のしっぽ同値の決定番号d(ある番号dから先のしっぽが一致する)は、この場合d＝n+1となる

いま、下記 都築暢夫 多項式環F[x]（今の場合R[x]）は、線形空間として（可算）無限次元だったことを思い出そう
無限次元線形空間から、作為をもって 有限次元の多項式を要素として 多項式を 選択することは可能だが
しかし、ランダムに 無限次元線形空間から 任意の要素を選べばどうなるか？

その答えは、無限次元線形空間とランダム性とは 馴染まないってことだね
（直観的には 無限次元空間だから 無限次元の要素であるべきだが 多項式でそれは成り立たないので 矛盾）

つまり、下記の非正則事前分布と同じで、非正則分布を成すので
コルモゴロフによる公理系  P(Ω)=1 （全事象Ωに1を与える）を満たすことが出来ない（ランダム性は考えられない）■
これが、箱入り無数目トリックです

再度纏めると、確率論から外れる典型例が二つある
一つは ご存知非可測集合の場合で、もう一つが 全事象Ωが(大きすぎて)発散して 確率1を与えることができない場合
（後者は、下記 AVILEN Inc. 2020に記されている通りだが、実務ではよく知られていることだが、純粋数学者で知る人は少ない）

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Formal_power_series
Formal power series
The formal power series over a ring R form a ring, commonly denoted by
R[[x]]. (It can be seen as the (x)-adic completion of the polynomial ring R[x], in the same way as the p-adic integers are the p-adic completion of the ring of the integers.)
The ring of formal power series
Definition of the formal power series ring
Ring structure
Topological structure

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/291

295: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2025/09/24(水) 07:03:01.32 ID:j35MrpIq

転載
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/344
<純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）21>

補足
(引用開始)
いま、下記 都築暢夫 多項式環F[x]（今の場合R[x]）は、線形空間として（可算）無限次元だったことを思い出そう
無限次元線形空間から、作為をもって 有限次元の多項式を要素として 多項式を 選択することは可能だが
しかし、ランダムに 無限次元線形空間から 任意の要素を選べばどうなるか？
その答えは、無限次元線形空間とランダム性とは 馴染まないってことだね
（直観的には 無限次元空間だから 無限次元の要素であるべきだが 多項式でそれは成り立たないので 矛盾）
つまり、下記の非正則事前分布と同じで、非正則分布を成すので
コルモゴロフによる公理系 P(Ω)=1 （全事象Ωに1を与える）を満たすことが出来ない（ランダム性は考えられない）■
これが、箱入り無数目トリックです
(引用終り)

分りにくいので 補足しよう
いま、簡単に Ω=N={1,2,3,・・,n,・・・} 自然数全体
を考えよう
これは、下記で 離散一様分布{1,2,3,・・,n}で n→∞ の極限を考えることに相当する
1〜nの離散一様分布では、平均(期待値) E[X] (n+1)/2 だね
ここで、n→∞とすると 平均(期待値) E[X] →∞ と 無限大に発散する

つまり、自然数全体 N={1,2,3,・・,n,・・・}において
平均(期待値)は、 E[X] →∞に発散するのです （標準偏差も同様に →∞に発散する）

個々の元 n は 有限なのだが 上限がなく発散しているが ゆえに 平均(期待値) E[X] →∞に発散する
つまり、N={1,2,3,・・,n,・・・} から ランダム（無作為）に一つ元を選べば その期待値は →∞に発散する
一方、どの元ｎも有限
つまり、矛盾
よって、自然数全体N={1,2,3,・・,n,・・・}の ランダム(無作為)抽出は 不成立！■

(参考)
https://mathlandscape.com/unif-distrib/
mathlandscape.com
一様分布の定義と性質のわかりやすいまとめ〜離散型・連続型〜
2022.03.06
離散一様分布
定義（離散一様分布）
確率変数
X が 1,2,3,…,n 上離散一様分布 (discrete uniform distribution) に従うとは，
P(X=k)= 1/n (1≤k≤n)
となることである。
X=1,2,3,…,n となる確率が等しいということ
<一様分布の諸性質まとめ>
平均(期待値) E[X] (n+1)/2
標準偏差 1/2√{(n^2-1)/3}

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/295

297: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2025/09/26(金) 20:31:46.87 ID:GhrkeCh0

転載
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/371
<純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）21>

>数学辞典の第5版に入るかどうかは微妙

ID:fkgyLEZd は、御大か
巡回ご苦労さまです

1）さて、下記の重川一郎 確率論基礎と対比してみよう
・まず、現代確率論では、下記の通り 確率変数Xtで
　添え字として、可算Z+={0,1,2,・・・} あるいは連続の [0,∞)が扱える
　いま、簡単に iid(独立同分布)を仮定する
・時枝手法により 可算無限個の確率変数Xt の列から 一つ iid(独立同分布)の反例が出来る
　即ち、例えば コイントスなら1/2,サイコロなら1/6の確率であるにも かかわらず
　可算無限個の確率変数Xt の ある一つが、確率99/100になる これは同分布に矛盾
　可算無限個の確率変数Xt の ある一つが、他の値から確率99/100で推定可能 これは独立に矛盾
・また、Xtで 連続添え字 [0,∞)の場合には、可算無限個の確率変数Xtから
　可算無限個もの列で 矛盾例が生じる
2）厳密を重んじる数学テキストでは
　重川先生は、時枝先生の論を認めるならば、テキストの書き換え要だよね
3）しかし、寡聞にして 確率論のテキストに 時枝氏の記事を取り入れた 大学確率論テキストはない！■

よって、数学辞典の第5版に 入るはずもない　；ｐ）

(参考)
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~ichiro/index_j.html
重川一郎
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~ichiro/lectures/2013bpr.pdf
2013年度前期 確率論基礎
Ｐ7
確率空間例サイコロ投げの場合
確率空間として次のものを準備すればよい．
Ω＝{1,2,・・・,6}^N∋ω＝{ω1,ω2,・・・}
ωnは1,2,・・・,6のいずれかで，n回目に出た目を表す．
確率はη1,η2,・・・ηnを与えて
P(ω1=η1,ω2=η2,・・・ωn=ηn)＝(1/6)^n
と定めればよい．これが実際にσ-加法的に拡張できることは明らかではないが，Kolmogorovの拡張定理と呼ばれる定理により証明できる．

P47
第4章ランダム・ウォーク
単純ランダム・ウォーク
定義1.1 時間t∈T をパラメーターとして持つ確率変数の族(Xt)を確率過程という．
Tとして[0,∞), Z+={0,1,2,・・・}などがよく使われる．
[0,∞)のとき連続時間，
Z+のとき離散時間という．
定義1.2. X1,X2,・・・をiidで各分布は
略
ベルヌーイ列とする

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%8B%AC%E7%AB%8B%E5%90%8C%E5%88%86%E5%B8%83
独立同分布
独立同分布に従う（英: be independent and identically distributed; IID, i.i.d., iid）とは、
2つ以上の確率変数がそれぞれ全く同じ確率分布に従っていて、
かつ互いに独立している状態のことを指す。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/297

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