雑談はここに書け！【６７】 (460ﾚｽ)
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422(2): 09/28(日)21:20 ID:zxZXlCIa(9/10) AAS
そもそも有理数と無理数の違いからして誤解している。
ある有理数にいくらでも近づいていく別の有理数の無限列は存在しない？
そんなわけあるか。では、有理数と無理数の違いはどこにあるか？
たとえば、有理数 a/cを別の有理数の無限列 b_i/d_i (i=1,2,...)
で近似することを考える。
このとき、|a/c-b/d|=|(ad-bc)/(cd)|であり、|ad-bc|≧1だから
|a/c-b/d|≧1/|cd|. ここでcは定数だから、b_i/d_iが動くとき
この値は、(定数)/d_iより小さくはならない。
そして、この性質が有理数と無理数の違いをもたらす。
ある有理数を別の有理数列で近似したときは
どうやっても（定数）×（近似分数の分母の逆数）
よりも良い近似は得られない。逆に、分数の無限列が
この限界を超えて良い近似をもたらすなら、その極限は無理数であることになる。
これは無理数であるための十分条件であるが、ディリクレの抽斗論法
を用いれば、このような「良い近似分数列が存在すること」が無理数であるための
必要条件であることも証明できる。
429(1): 09/29(月)11:47 ID:Xm+bk6Ry(1/9) AAS
>>422-423
πは π＝[3,7,15,1,…] と無限正則連分数の形で表され、
πについて、どんな正の整数kに対しても
第k次の近似分数 (q_k)/(p_k) と4は等しくはならないから、
正則連分数の性質から、少なくとも π^π の議論では
無限正則連分数の第k次の近似分数の議論は関係ない
π^π の議論を一般化しようとすると話は別だろうが
444: 10/02(木)00:56 ID:07eKl1iA(1/2) AAS
>>422の前半に書いたことを、命題の形で書くと
次のようになる。「良い近似分数列」とは、正確には
この命題の条件をみたす分数列 q_iのことである。
命題
有理数の無限列 q_i(i=1,2,...)がある値αに収束し
かつ、その値はq_iとは交わらない、すなわち
αはq_iのどの元とも異なるとする。
有理数qを既約分数で書いたときの正の分母をd(q)とおいたとき
条件: lim_{i→∞} d(q_i)|α-q_i|=0 が成立するなら
αは無理数である。
（証明）仮にαが有理数だとすると
|α-q_i|≧1/(d(α)d(q_i))、したがって
d(q_i)|α-q_i|≧1/d(α) となり
左辺がi→∞において0になるという条件に反する。
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