雑談はここに書け！【６７】 (488ﾚｽ)
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311(1): 09/17(水)12:10 ID:p3xZkeay(3/8) AAS
>>299
Aの上からの評価が間違っていてAを下からも評価する必要があった。
Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1)) が有理数であると仮定する
Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1))
＝1＋ _{k＝2,3,…,+∞}(1/(k!＋1))
＝1＋Σ _{k＝2,3,…,+∞}(1/k!)
＜1＋1＝2
であって、Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1))＞1 であるから、
仮定から、或る互いに素な2つの正の整数p,qが存在してpは p≧2 を満たし
Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1))＝q/p である
よって、(p!＋1)!Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1)) は正の整数である
同様に、(p!＋1)!Σ _{k＝0,1,…,p}(1/(k!＋1)) は正の整数である。故に、
A＝(p!＋1)!Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1))−(p!＋1)!Σ _{k＝0,1,…,p}(1/(k!＋1))
とおけば、Aは正の整数である。任意の n≧2 なる整数nに対して
n!＋1＜(n＋1)! であることに注意して、Aを上から評価すれば
A＝(p!＋1)!Σ _{k＝p+1,p+2,…,+∞}(1/(k!＋1))
＝p!×(p!＋1)Σ _{k＝p+1,p+2,…,+∞}(1/(k!＋1))
＜p!×(p!＋1)Σ _{k＝p,p+1,…,+∞}(1/(k!＋1))
＝p!Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/((k＋p)!＋1))
＝(p!)/(p!＋1)＋(p!)Σ _{k＝1,2,…,+∞}(1/((k＋p)!＋1))
＜(p!)/(p!＋1)＋(p!)Σ _{k＝1,2,…,+∞}(1/((p＋1)!＋1)^k)
＝(p!)/(p!＋1)＋(p!)/((p＋1)!＋1)×1/(1−(1/((p＋1)!＋1)))
＝(p!)/(p!＋1)＋(p!)/(p＋1)!＝(2(p!))/(p＋1)!
＜2
である。よって、正の整数Aは A＝1 であって、A＝1 に限る
しかし、任意の n≧2 なる整数nに対して (n!＋1)!＞(n＋1)!＞n!+2 である
ことに注意してAを下から評価すれば、
A＝(p!＋1)!Σ _{k＝p+1,p+2,…,+∞}(1/(k!＋1))
＞(p!＋1)!Σ _{k＝p+1,p+2,…,+∞}(1/(k＋1)!)
＞(p!＋1)!/(p＋2)!
＞1
であるから、 A＝1 であることに反し、矛盾が生じる
故に、背理法により、Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1)) は無理数である
312(1): 09/17(水)12:25 ID:p3xZkeay(4/8) AAS
>>299
>>311は間違っていたので書き直し
Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1)) が有理数であると仮定する
Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1))
＝1＋ _{k＝2,3,…,+∞}(1/(k!＋1))
＝1＋Σ _{k＝2,3,…,+∞}(1/k!)
＜1＋1/2
＝3/2＜2
であって、Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1))＞1 であるから、
仮定から、或る互いに素な2つの正の整数p,qが存在してpは p≧3 を満たし
Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1))＝q/p である
よって、(p!＋1)!Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1)) は正の整数である
同様に、(p!＋1)!Σ _{k＝0,1,…,p}(1/(k!＋1)) は正の整数である。故に、
A＝(p!＋1)!Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1))−(p!＋1)!Σ _{k＝0,1,…,p}(1/(k!＋1))
とおけば、Aは正の整数である。任意の n≧2 なる整数nに対して
n!＋1＜(n＋1)! であることに注意して、Aを上から評価すれば
A＝(p!＋1)!Σ _{k＝p+1,p+2,…,+∞}(1/(k!＋1))
＝p!×(p!＋1)Σ _{k＝p+1,p+2,…,+∞}(1/(k!＋1))
＜p!×(p!＋1)Σ _{k＝p,p+1,…,+∞}(1/(k!＋1))
＝p!Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/((k＋p)!＋1))
＝(p!)/(p!＋1)＋(p!)Σ _{k＝1,2,…,+∞}(1/((k＋p)!＋1))
＜(p!)/(p!＋1)＋(p!)Σ _{k＝1,2,…,+∞}(1/((p＋1)!＋1)^k)
＝(p!)/(p!＋1)＋(p!)/((p＋1)!＋1)×1/(1−(1/((p＋1)!＋1)))
＝(p!)/(p!＋1)＋(p!)/(p＋1)!＝(2(p!))/(p＋1)!
＜2
である。よって、正の整数Aは A＝1 であって、A＝1 に限る
しかし、任意の n≧3 なる整数nに対して (n!＋1)!＞(n＋2)!＞(n＋1)!＞n!+1 である
ことに注意してAを下から評価すれば、
A＝(p!＋1)!Σ _{k＝p+1,p+2,…,+∞}(1/(k!＋1))
＞(p!＋1)!Σ _{k＝p+1,p+2,…,+∞}(1/(k＋1)!)
＞(p!＋1)!/(p＋2)!
＞1
であるから、 A＝1 であることに反し、矛盾が生じる
故に、背理法により、Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1)) は無理数である
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