雑談はここに書け！【６７】

雑談はここに書け！【６７】 (498ﾚｽ)
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320: １３２人目の素数さん [] 2025/09/19(金) 07:02:08.24 ID:D62WXik0

>>298
>何故ポール・エルデシュは収束する級数
>Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1))
>が無理数なることを示せなかったのか不思議だ

いまどきの検索 の「AI による概要」 どうなんでしょうねｗ　；ｐ）

google検索：収束する級数 Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1)) が無理数 の証明
AI による概要（AI の回答には間違いが含まれている場合があります ）
級数 Σ (1/(k!+1)) が無理数であることの証明は、直接的な証明が困難であり、一般には超越数論や特定の条件を満たす級数（例: eの級数）の無理数性に関する理論が用いられます。与えられた級数はeの級数Σ(1/k!)に類似していますが、+1があるため性質が異なり、証明にはより高度な数学的知識が必要です。
証明の概略と難しさ
無理数性の定義:ある数が無理数であるとは、p/q の形で表せない実数のことを指します。
級数の無理数性の証明方法:
背理法:仮に級数の和が有理数であると仮定し、矛盾を導く方法です。
数論的アプローチ:級数の各項の性質と級数全体の性質を結びつけ、直接無理数であることを示す方法です。
与えられた級数の特殊性:
級数 Σ (1/(k!+1)) は、ネイピア数 e の級数 Σ (1/k!) の変形ですが、+1の項があるため、e とは異なる性質を持ちます。
e の級数は無理数であることが証明されていますが、その証明は数論的に高度であり、直接的に適用できるものではありません。
証明のポイント
級数 Σ (1/(k!+1)) の和をSとおきます。
S が有理数であると仮定し、背理法で矛盾を導くことを目指します。
分母がk!を含むため、この級数の和がある種の「無限の小数表現」と見なせます。
この無限の小数表現が、有理数の「循環する」性質とは異なることを示す必要があります。
結論
級数 Σ (1/(k!+1)) の無理数性の証明は、超越数論の範疇に入るため、高校数学の範囲を超える高度な知識が必要です。この級数の和が無理数であることの証明は、具体的な証明が存在するものの、ここに記述するレベルの単純なものではありません。
[補足]
級数Σ(1/(k!+1)) の具体的な証明には、カントールの定理やリンデマン-ワイエルシュトラスの定理など、さらに高度な定理を援用する必要があります。
上記の「eの級数の無理数性の証明」を参照して、基本的な証明手法を学ぶことも有用です。
これらの説明は、数学的に正確に記述する必要があるため、より詳細な証明については専門の書籍や論文でご確認ください。
AI モードでさらに詳しく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736754850/320

321: １３２人目の素数さん [] 2025/09/19(金) 07:36:17.92 ID:D62WXik0

>>320 追加
>何故ポール・エルデシュは収束する級数
>Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1))
>が無理数なることを示せなかったのか不思議だ

英語で検索（英語の数学情報は 日本語の100倍らしい　；ｐ）

英語google検索：series Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1)) irrational number proof
AI による概要（AI responses may include mistakes. Answers might be inaccurate or misleading. Double-check for accuracy. ）

Proof of Irrationality for Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1))
The irrationality of the series Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1))
can be demonstrated by comparing it to a known irrational number or by using a proof by contradiction. A common approach involves relating it to the irrationality of e.

Steps for Proof 
Consider the series for e: The number e is known to be irrational and is defined by the series Σ{k=0}^{∞} 1/k!.
Compare the given series to the series for e .
The given series is Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1)).
For k ≧ 1,
it is observed that k!+1>k!, which implies 1/(k!+1) < 1/k!.
Analyze the terms for small k:
For k=0, the term in the given series is 1/(0!+1)=1/(1+1)=1/2.
For k=0, the term in the series for e is 1/0!=1/1=1.
Relate the sums: Let S=Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1)).
The series for e can be written as e=1+Σ{k=1}^{∞} 1/k!.
The given series can be
written as S=1/2+Σ _{k＝1,…,+∞}(1/(k!＋1)).

Consider a proof by contradiction (if necessary):
If it were assumed that S is rational, then S=p/q for some integers p and q with q ≠ 0.
This assumption would then be used to derive a contradiction, often by showing that a related number, such as e, would also have to be rational, which is known to be false.

Utilize known results on irrationality:
The irrationality of e is a well-established result.

Final Answer 
The series Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1)) is an irrational number.
This can be demonstrated by methods similar to those used to prove the irrationality of e, involving a proof by contradiction that shows assuming rationality leads to a contradiction with properties of integers or known irrational numbers.■

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736754850/321

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