雑談はここに書け！【６７】 (461ﾚｽ)
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323(1): 09/19(金)10:01 ID:T87mG23f(1/10) AAS
>>319
収束する級数 Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1)) を
A＝Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1)) とおく
級数Aの右辺の式の形を見ると不等式
A＝Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1))＜e＝Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!))
が成り立ち、eの無理数度は2だから、eと同様にAの無理数度も2である
任意の n≧2 なる整数に対してn次無理数の無理数度はnだから
Aが代数的無理数であると仮定すれば、Aは2次無理数であって2次無理数に限られる
しかし、Aは2次無理数ではないから、矛盾が生じる
よって、背理法により、Aは代数的無理数ではない
故に、Aは超越数である
324(1): 09/19(金)10:01 ID:T87mG23f(2/10) AAS
>>319
収束する級数 Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1)) を
A＝Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1)) とおく
級数Aの右辺の式の形を見ると不等式
A＝Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1))＜e＝Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!))
が成り立ち、eの無理数度は2だから、eと同様にAの無理数度も2である
任意の n≧2 なる整数に対してn次無理数の無理数度はnだから
Aが代数的無理数であると仮定すれば、Aは2次無理数であって2次無理数に限られる
しかし、Aは2次無理数ではないから、矛盾が生じる
よって、背理法により、Aは代数的無理数ではない
故に、Aは超越数である
325: 09/19(金)10:11 ID:T87mG23f(3/10) AAS
>>320
e＝Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!)) の無理性の証明は
大学1年の微分積分の本に書いてある
326: 09/19(金)10:15 ID:T87mG23f(4/10) AAS
>>319
どういう訳か知らんが、>>323、>>324で同じレスが2投してある
332(1): 09/19(金)11:02 ID:T87mG23f(5/10) AAS
>327
>328
>329
A＝(p!＋1)!Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1))−(p!＋1)!Σ _{k＝0,1,…,p}(1/(k!＋1))
とおいて A＜1 が得られたから、Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1)) の無理数度はeと同じ2
334: 09/19(金)11:23 ID:T87mG23f(6/10) AAS
>>333
そういうことは自分で勉強するモノだ
335: 09/19(金)11:29 ID:T87mG23f(7/10) AAS
興味深いことに、無理数 Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1))−1 に対しては
γの有理性と同じ方法は通用しないことが分かった
339: 09/19(金)11:36 ID:T87mG23f(8/10) AAS
>>336
A＝(p!＋1)!Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1))−(p!＋1)!Σ _{k＝0,1,…,p}(1/(k!＋1))
とおいて A＜1 が得られたから A≦1
341: 09/19(金)12:14 ID:T87mG23f(9/10) AAS
>>340
>本来の主張
>「Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1))
>の無理性は、eの無理性証明を真似ればできる」
>は正しいのか？
Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1)) と e＝Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!))
の式の形は似ているから、eの無理性の証明とは少し違うが
Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1)) の無理性の証明にはeの無理性の証明を応用出来る
343: 09/19(金)12:37 ID:T87mG23f(10/10) AAS
>>342
Σ _{k＝0,1,…,p}(1/(k!＋1)) と e＝Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!))
は式の形が似ているから、Σ _{k＝0,1,…,p}(1/(k!＋1)) の無理性の証明には
eの無理性の証明の考え方を応用出来ると分かったら、あとは証明を試みてみるだけ
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