雑談はここに書け！【６７】 (510ﾚｽ)
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488: 10/10(金)09:14 ID:tI5DsBLW(3/10) AAS
任意に p/q∈A を取る
aは正の無理数であるから、Aの定義から、|a−p/q|＞0 である
また、正の無理数aの無理数度μについて 2＜μ＜+∞ であるから、
|a−p/q|＜1/q^μ を満たす有理数 p/q の分母qについて、
0＜|a−p/q|＜1/q^μ なることに注意すれば、
確かに q≦0 なることはあり得ず q＞1 である
同様に 2＜μ＜+∞ であるから、Aの定義から、|a−p/q|＜1/q^μ なる
正の有理数 p/q q＞1 の分母qについて、1/q^μ＜1/q^2 である
よって、|a−p/q|＜1/q^μ なる有理数 p/q q＞1 は |a−p/q|＜1/q^2 を満たす
aは正の無理数であるから、|a−p/q|＜1/q^μ なる有理数 p/q q＞1 の分子p
が p≦−1 なる整数であることはあり得ず、p≧0 である
有理直線Qの有限部分集合Aに属する有理数 p/q は任意であるから、
|a−p/q|＜1/q^2 なる有理数 p/q p≧0 q≧1 は高々有限個しか存在しない
しかし、正の無理数aは一意に正則無限連分数展開されるから、
|a−p'/q'|＜1/(q')^2 なる正の有理数 p'/q' p'＞1 q'＞1 は無限個存在する
このことは、|a−p/q|＜1/q^2 なる有理数 p/q p≧0 q≧1 が
高々有限個しか存在しないことが導かれたことに反し矛盾する
この矛盾は、或る正の無理数aが存在して、或る2より大きい有限な実数μが存在して、
正の無理数aの無理数度が 2＜μ＜+∞ なる無理数度μであるとする
と仮定したことから生じたから、背理法が適用出来る
背理法を適用すれば、どんな正の無理数aに対しても、
どんな2より大きい有限な実数μに対しても、
正の無理数aの無理数度が 2＜μ＜+∞ なる無理数度μであることはあり得ない
故に、任意の正の無理数aの無理数度μは μ＝2 であるかまたは μ＝+∞ である

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