雑談はここに書け！【６７】 (510ﾚｽ)

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488: １３２人目の素数さん [sage] 2025/10/10(金) 09:14:50.73 ID:tI5DsBLW 任意に p/q∈A を取る aは正の無理数であるから、Aの定義から、|a−p/q|＞0 である また、正の無理数aの無理数度μについて 2＜μ＜+∞ であるから、 |a−p/q|＜1/q^μ を満たす有理数 p/q の分母qについて、 0＜|a−p/q|＜1/q^μ なることに注意すれば、 確かに q≦0 なることはあり得ず q＞1 である 同様に 2＜μ＜+∞ であるから、Aの定義から、|a−p/q|＜1/q^μ なる 正の有理数 p/q q＞1 の分母qについて、1/q^μ＜1/q^2 である よって、|a−p/q|＜1/q^μ なる有理数 p/q q＞1 は |a−p/q|＜1/q^2 を満たす aは正の無理数であるから、|a−p/q|＜1/q^μ なる有理数 p/q q＞1 の分子p が p≦−1 なる整数であることはあり得ず、p≧0 である 有理直線Qの有限部分集合Aに属する有理数 p/q は任意であるから、 |a−p/q|＜1/q^2 なる有理数 p/q p≧0 q≧1 は高々有限個しか存在しない しかし、正の無理数aは一意に正則無限連分数展開されるから、 |a−p'/q'|＜1/(q')^2 なる正の有理数 p'/q' p'＞1 q'＞1 は無限個存在する このことは、|a−p/q|＜1/q^2 なる有理数 p/q p≧0 q≧1 が 高々有限個しか存在しないことが導かれたことに反し矛盾する この矛盾は、或る正の無理数aが存在して、或る2より大きい有限な実数μが存在して、 正の無理数aの無理数度が 2＜μ＜+∞ なる無理数度μであるとする と仮定したことから生じたから、背理法が適用出来る 背理法を適用すれば、どんな正の無理数aに対しても、 どんな2より大きい有限な実数μに対しても、 正の無理数aの無理数度が 2＜μ＜+∞ なる無理数度μであることはあり得ない 故に、任意の正の無理数aの無理数度μは μ＝2 であるかまたは μ＝+∞ である http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736754850/488

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