雑談はここに書け！【６７】 (510ﾚｽ)
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488: 10/10(金)09:14 ID:tI5DsBLW(3/10) AA×


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488: [sage] 2025/10/10(金) 09:14:50.73 ID:tI5DsBLW 任意に p/q∈A を取る aは正の無理数であるから、Aの定義から、|a−p/q|＞0 である また、正の無理数aの無理数度μについて 2＜μ＜+∞ であるから、 |a−p/q|＜1/q^μ を満たす有理数 p/q の分母qについて、 0＜|a−p/q|＜1/q^μ なることに注意すれば、 確かに q≦0 なることはあり得ず q＞1 である 同様に 2＜μ＜+∞ であるから、Aの定義から、|a−p/q|＜1/q^μ なる 正の有理数 p/q q＞1 の分母qについて、1/q^μ＜1/q^2 である よって、|a−p/q|＜1/q^μ なる有理数 p/q q＞1 は |a−p/q|＜1/q^2 を満たす aは正の無理数であるから、|a−p/q|＜1/q^μ なる有理数 p/q q＞1 の分子p が p≦−1 なる整数であることはあり得ず、p≧0 である 有理直線Qの有限部分集合Aに属する有理数 p/q は任意であるから、 |a−p/q|＜1/q^2 なる有理数 p/q p≧0 q≧1 は高々有限個しか存在しない しかし、正の無理数aは一意に正則無限連分数展開されるから、 |a−p'/q'|＜1/(q')^2 なる正の有理数 p'/q' p'＞1 q'＞1 は無限個存在する このことは、|a−p/q|＜1/q^2 なる有理数 p/q p≧0 q≧1 が 高々有限個しか存在しないことが導かれたことに反し矛盾する この矛盾は、或る正の無理数aが存在して、或る2より大きい有限な実数μが存在して、 正の無理数aの無理数度が 2＜μ＜+∞ なる無理数度μであるとする と仮定したことから生じたから、背理法が適用出来る 背理法を適用すれば、どんな正の無理数aに対しても、 どんな2より大きい有限な実数μに対しても、 正の無理数aの無理数度が 2＜μ＜+∞ なる無理数度μであることはあり得ない 故に、任意の正の無理数aの無理数度μは μ＝2 であるかまたは μ＝+∞ である http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736754850/488
任意に を取る は正の無理数であるからの定義から である また正の無理数の無理数度について であるから を満たす有理数 の分母について なることに注意すれば 確かに なることはあり得ず である 同様に であるからの定義から なる 正の有理数 の分母について である よって なる有理数 は を満たす は正の無理数であるから なる有理数 の分子 が なる整数であることはあり得ず である 有理直線の有限部分集合に属する有理数 は任意であるから なる有理数 は高有限個しか存在しない しかし正の無理数は一意に正則無限連分数展開されるから なる正の有理数 は無限個存在する このことは なる有理数 が 高有限個しか存在しないことが導かれたことに反し矛盾する この矛盾は或る正の無理数が存在して或るより大きい有限な実数が存在して 正の無理数の無理数度が なる無理数度であるとする と仮定したことから生じたから背理法が適用出来る 背理法を適用すればどんな正の無理数に対しても どんなより大きい有限な実数に対しても 正の無理数の無理数度が なる無理数度であることはあり得ない 故に任意の正の無理数の無理数度は であるかまたは である

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