5次方程式の解を表現できる数体系 (76ﾚｽ)
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60: 04/05(土)16:13 ID:EntYjTdQ(1/2) AAS
前スレより
「P=2π/11とおいたとき
sin(P)/√11=(1-cos(P)+2cos(3P)-2cos(5P))/11
の両辺において、Pをa倍 (a=2,...,10)すると何が起きるか？
→　±1倍の違いが生じる。
これは、ガロア群が√11にも作用するから。
そして、この値は実はルジャンドル記号(a/11)に等しい。
すなわち
sin(aP)/√11="(a/11)"(1-cos(aP)+2cos(3aP)-2cos(5aP))/11.
（ただの分数と区別するために" "で示した。）」

11以外にも、一般にp≡3 (mod4)なる素数の場合に同様の計算が可能。
このとき、√pを用いたsinのcosによる相対2次表現の符号に
ルジャンドル記号があらわれる。
ルジャンドル記号
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
このように、単に符号であっても詳しく調べれば
デリケートな（数論的な）量があらわれてくるのである。
当時このような現象まで含めて捉えていたのはガウスだけだったのでは。

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61: 04/05(土)16:16 ID:EntYjTdQ(2/2) AAS
nは自然数、(n/p)をルジャンドル記号とする。（特に(1/p)=1である。）

P=2π/3のとき
√3 sin(nP)=(n/3)(1-cos(2nP))

P=2π/7のとき
√7 sin(nP)=(n/7)(1+cos(nP)-2cos(2nP))

P=2π/11のとき
√11 sin(nP)=(n/11)(1-cos(nP)+2cos(3nP)-2cos(5nP))

P=2π/19のとき
√19 sin(nP)=(n/19)(1-cos(nP)-2cos(2nP)+2cos(3nP)+2cos(4nP)-2cos(7nP))

P=2π/23のとき
√23 sin(nP)=(n/23)(1+con(nP)-2cos(4nP)+2cos(8nP)-2cos(9nP)-2cos(10nP)+2cos(11nP))

いくらでも計算できる。

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