信者が多い数学者

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48: １３２人目の素数さん [] 2025/01/07(火) 15:06:29.99 ID:ITwR68rh

>>44
>西野先生の数学を含む
>多変数の値分布

ふむ
下記の 2変数解析関数の値分布 西野 利雄
の「はじめに」が読みやすい
というか、それしか読めないが ・・・（＾＾

なお、常識ですが 値分布＝ネヴァンリンナ理論ね
20世紀には、ネヴァンリンナ理論は、あちこちで見かけた（名前だけですが ；ｐ）
最近見ないので、念のため

(参考)
www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/32/3/32_3_230/_article/-char/ja/
数学/32 巻 (1980) 3 号/書誌
www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/32/3/32_3_230/_pdf/-char/ja
2変数解析関数の値分布
西野 利雄

ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8D%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%83%B3%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%83%8A%E7%90%86%E8%AB%96
ネヴァンリンナ理論（英語: Nevanlinna theory）とは、複素解析の分野における理論で、有理型関数の理論の一部である。1925年にロルフ・ネヴァンリンナによって考案された。ヘルマン・ワイルはこれを「今世紀（20世紀）における数少ない数学的偉業のうちの一つ」と呼んでいる[1]。この理論は、方程式 f(z) = a の解の漸近分布を a の変化として記述している。基本的なツールは、有理型関数の増加率を測定するネヴァンリンナ標数 T(r, f) である。
この理論の20世紀前半の他の主な貢献者には、ラース・ヴァレリアン・アールフォルス、アンドレ・ブロッホ（英語版）、アンリ・カルタン、エドワード・コーリングウッド（英語版）、オットー・フロストマン（英語版）、フリチオフ・ネヴァンリンナ、ヘンリック・セルバーグ（英語版）、清水辰次郎、オズヴァルト・タイヒミュラー、ジョルジュ・ヴァリロン（英語版）がいる。元々の形式では、ネヴァンリンナ理論は、円盤 |z| ≤ R または複素平面全体 (R = ∞) で定義された1つの複素変数の有理型関数を扱う。その後の一般化により、ネヴァンリンナ理論は、代数関数、正則曲線（英語版）、任意次元の複素多様体間の正則写像、準規則写像（英語版）、極小曲面へと拡張された。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1732909516/48

53: １３２人目の素数さん [] 2025/01/08(水) 11:37:28.64 ID:Tq8fsyAE

>>51
>擬凸集合（英: pseudoconvex set）は n 次元複素空間 Cn 内のある特殊なタイプの開集合をモデルとして導入された、凸性に似た幾何学的条件で定義される複素多様体上の領域である。

なるほど
こういうときは、en.wikipediaを見るのが定石でして
なるほど、”Every (geometrically) convex set is pseudoconvex.”
C2 (twice continuously differentiable) boundary
Now, G is pseudoconvex iff for every
p∈∂G and w in the complex tangent space at p, that is,
∇ρ(p)w= Σi=1〜n ∂ρ(p)/∂zi wi = 0, we have
?i,j=1〜n ∂2 ρ(p)/∂zj∂¯zj wiw¯j ≧ 0 .
The definition above is analogous to definitions of convexity in Real Analysis.
か・・・

(参考)
en.wikipedia.org/wiki/Pseudoconvexity
Pseudoconvexity
In mathematics, more precisely in the theory of functions of several complex variables, a pseudoconvex set is a special type of open set in the n-dimensional complex space Cn. Pseudoconvex sets are important, as they allow for classification of domains of holomorphy.
Let
G⊂Cn be a domain, that is, an open connected subset. One says that
G is pseudoconvex (or Hartogs pseudoconvex) if there exists a continuous plurisubharmonic function
φ on
G such that the set
{z∈G∣φ(z)<x} is a relatively compact subset of
G for all real numbers x.
In other words, a domain is pseudoconvex if
G has a continuous plurisubharmonic exhaustion function. Every (geometrically) convex set is pseudoconvex.
However, there are pseudoconvex domains which are not geometrically convex.

When G has a C2 (twice continuously differentiable) boundary, this notion is the same as Levi pseudoconvexity, which is easier to work with.
More specifically, with a C2 boundary, it can be shown that
G has a defining function, i.e., that there exists
ρ:Cn→R which is C2 so that
G={ρ<0}, and ∂G={ρ=0}.
Now, G is pseudoconvex iff for every
p∈∂G and w in the complex tangent space at p, that is,
∇ρ(p)w= Σi=1〜n ∂ρ(p)/∂zi wi = 0, we have
?i,j=1〜n ∂2 ρ(p)/∂zj∂¯zj wiw¯j ≧ 0 .
The definition above is analogous to definitions of convexity in Real Analysis.
If G does not have a C2 boundary, the following approximation result can be useful.
Proposition 1
略す

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1732909516/53

60: １３２人目の素数さん [] 2025/01/08(水) 23:41:28.71 ID:5+2Nfd3k

つづき

4）検索：Diederich-Fornaess 2件のみ見繕い貼り付け
ADACHI Masanori (足立真訓) — Articles
Graduate School of Mathematics, Nagoya University
www.math.nagoya-u.ac.jp › articles
Levi平坦面の囲む領域におけるDiederich–Fornaess指数の局所的な表示公式 [PDF, ja] ... A summary of [1] with some comments about the Diederich–Fornaess exponent.

Diederich-Fornaess and Steinness indices for abstract CR ...
arXiv
arxiv.org › math
M Adachi 著 · 2020 · 被引用数: 7 — We propose the concept of Diederich--Fornæss and Steinness indices on compact pseudoconvex CR manifolds of hypersurface type in terms of the D'Angelo 1-form.

5）
（参考）
ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%A9%E3%83%86%E3%82%AA%E3%83%89%E3%83%AA%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86_(%E7%AD%89%E8%A7%92%E5%86%99%E5%83%8F)
複素解析学において、1913 年にコンスタンティン・カラテオドリ[1]によって証明されたカラテオドリの定理 (Carathéodory's theorem) は、U が複素平面 C の単連結な開部分集合であってその境界がジョルダン曲線であれば（そのような領域をジョルダン領域という）、U から単位（開）円板 D へのリーマン写像（すなわち双正則写像）
f: U → D
は境界に連続に拡張し、Γ から単位円 S1 への同相写像
F: Γ → S1
が与えられるという定理である。
言い換えると、この定理が述べているのは、ジョルダン領域 U に対し、U の閉包から単位閉円板 cl(D) への同相写像
F: cl(U) → cl(D)
であってその内部への制限がリーマン写像であるようなものが存在するということである。
カラテオドリの定理の別の標準的な定式化は、ジョルダン曲線 Γ1 と Γ2 に囲まれた単連結開集合 U と V の任意の対に対して、等角写像
f: U → V
は同相写像
F: cl(U) → cl(V)
に拡張し、その Γ1 への制限は Γ2 への同相写像になる。
この主張は最初の主張から一方のリーマン写像の逆をもう一方のリーマン写像と合成することによって得られる。
より一般的に述べると以下のようになる。
g: D → U
をリーマン写像の逆写像とする、ただし D ⊂ C は単位円板で、U ⊂ C は単連結領域。すると g が連続に
G: cl(D) → cl(U)
に拡張することと、U の境界が局所連結であることが同値である。この結果は最初 Marie Torhorst によって 1918 年の学位論文[2] において、ハンス・ハーンの指導の下、カラテオドリの prime ends（英語版） の理論を用いて、述べられ証明された。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1732909516/60

63: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/09(木) 15:55:30.90 ID:QTA1G6jC

>>59 訂正

漸近的双曲空間における幾何解析∗ （注：こいつは、理論物理系ですね）
　↓
漸近的双曲空間における幾何解析∗ （注：こいつは、物理数学系ですね）

あと、”補題 1.19 (Carathéodory の定理)”は、全く別物（名前のみ Carathéodory ）
また、Fefferman で 目次 ”第5 章AH-Einstein 方程式の漸近的近似解（Fefferman–Graham 展開）P103”は、未執筆
いまは、P71までしかない （＾＾

参考文献では、下記ですが
[16] C. Feﬀerman and C. R. Graham, Conformal invariants, Astérisque Numero Hors Serie (1985), 95116, The mathematical
heritage of Élie Cartan (Lyon, 1984).
[17] 　, The ambient metric, Annals of Mathematics Studies vol. 178, Princeton University Press, Princeton, NJ,
2012.
[18] C. L. Feﬀerman, Monge-Ampère equations, the Bergman kernel, and geometry of pseudoconvex domains, Ann. of
Math. (2) 103 (1976), no. 2, 395416.

>>62
>吉田洋一の「函数論」に
>難しい証明が載っている。

"吉田洋一の「函数論」"は、背表紙だけ見た記憶があります
昔、定番だったかも
”Proofs of Carathéodory's theorem” >>61の話ですね

>>58
>A1:特殊な擬凸領域の詳しい幾何構造に関心がもたれるようになった
>A2:FeffermanによるCaratheodoryの定理の高次元化やそれに関連したDiederich-Fornaessの一連の研究に触発された多くの研究の結果、やってみると意外に面白い発見があることがわかった。

何年か前に、加藤文元さんのガロア理論 （下記）の立ち読みだったと思うが （＾＾
『数学の対象を広げすぎると、浅いことしか言えない
　数学の対象を適度に狭めると、深い定理が得られる』
みたく書いてあって、なるほどと思ったことがあります
（例えば、楕円曲線）

一般の擬凸で言えることは終わって
擬凸で”楕円曲線”に相当するような、面白い対象で 深い定理が出てくると面白そうですね

(参考)
アマゾン
ガロア理論12講 概念と直観でとらえる現代数学入門 単行本 – 2022/7/21
加藤 文元 (著) KADOKAWA
上位レビュー
新倉
5つ星のうち5.0 スラスラ読める
2024年4月20日に日本でレビュー済み
他の代数学の教科書とくらべて、わかりやすさを優先して証明を省略したり具体例を豊富にしたりする工夫があり初学者にはわかりやすい。
他の教科書を読み進めるための助けにもなると思います。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1732909516/63

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