雑談はここに書け！【68】 (643ﾚｽ)
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546(1): 07/08(火)12:07 ID:07gmlzs1(1/4) AAS
>>544-545
それ面白いね
外部ﾘﾝｸ:biggo.jp
17歳の Hannah Cairo がフラクタルを用いて40年前の数学予想を反証
BigGo コミュニティ部
2025-07-08
Hannah Cairo は、熟練した数学者たちが何十年もの間取り組んできたことを成し遂げた。わずか17歳で、1980年代から調和解析コミュニティを困惑させてきた数学問題である Mizohata-Takeuchi 予想の反証に成功したのだ。彼女の突破口は型破りな道筋から生まれた - 任意の宿題として始まったものが、彼女の分野における基本的な仮定に挑戦する画期的な発見となったのである。
主要な技術的詳細：
新鮮な視点と最適な宿題設計の力
Cairo の発見は、彼女の教授である Ruixiang Zhang が宿題問題への任意の拡張として設計したものから生まれた。この教育アプローチ - 学生に管理可能な問題と並んで不可能な問題に取り組む機会を提供する - は、教育者がいかに優秀な才能を育成できるかを実証している。コミュニティはこれを貴重な教訓として注目している：可能な限り人々に優秀になる機会を常に与えるべきである。
「後輩の最も良いところは、問題が不可能だということを知らないので、ただそれをやってしまうことです。」
彼女の成功はまた、数学的突破口が予期しない角度からもたらされる可能性があることを示している。予想を証明しようと数ヶ月間試行した後、Cairo はなぜそれがそれほど困難なのかを理解し、その洞察を使って代わりに反例を構築した。彼女のアプローチはフラクタルを含み、複数の数学的ツールの注意深い配置を必要とし、現代の数学的技法がいかに長年の問題を解決できるかを示している。
技術的成果とコミュニティへの影響
Mizohata-Takeuchi 予想は調和解析を扱っており、これは複雑な関数を正弦波のようなより単純な成分に分解する分野である。この予想は広く真実であると信じられており、その証明はこの分野における他のいくつかの重要な結果を検証することになったであろう。Cairo のフラクタルを用いた反例による反証は、元の問題を解決するだけでなく、数学コミュニティに関連する研究を再考することを強いている。
彼女の成果は著名な数学者たちからの注目を集めており、Terence Tao でさえこの分野でのさらなる進歩を示唆している。この研究は、単一の反例が理論数学における理解をいかに再形成できるかを実証し、時として予想を反証することが予想を証明することと同じくらい価値があることを証明している。
数学コミュニティは、解決そのものだけでなく、それを提供したのが誰であるかということに対して、熱意と驚きの両方をもって反応している。Cairo の成功物語は、若い数学的才能が重要な貢献をするという伝統を継続する一方で、既存の学術的枠組みの中でそのような優秀な能力を最もよく支援し発展させる方法についての疑問も提起している。
参考：A 17-year-old teen refutes a mathematical conjecture proposed 40 years ago
問題: Mizohata-Takeuchi 予想（1980年代に提唱）
分野: 調和解析およびフーリエ制限理論
手法: フラクタルを用いた反例構築
現状: 40年以上を経て反証に成功
影響: 関連する数学的結果の再考を迫る
数学的発見における学術システムの役割
548: 07/08(火)13:05 ID:07gmlzs1(2/4) AAS
>>546 補足
>17歳の Hannah Cairo がフラクタルを用いて40年前の数学予想を反証
>17歳で、1980年代から調和解析コミュニティを困惑させてきた数学問題である Mizohata-Takeuchi 予想の反証に成功したのだ。彼女の突破口は型破りな道筋から生まれた -
余談だが
１）40年間反例が見つからなかったということは
反例の存在は 非常に例外的なのでは？
２）もし、うまい条件設定が見つけられて、
Mizohata-Takeuchi 予想の 成立する範囲（条件）と
反例が存在する範囲（それはフラクタルな反例が成立する条件）
などの 適切な条件の範囲設定ができることが、真の数学の進歩では？
そんな気がする
550: 07/08(火)17:20 ID:07gmlzs1(3/4) AAS
>>547
>この竹内さんてどのTakeuchiさん？
分からなかったが、調べた範囲を貼り付けします
外部ﾘﾝｸ:www.jstage.jst.go.jp
SUGAKU/Volume 74 (2022) Issue 4/Article overview
Neal Bez
Fourier 制限予想と掛谷予想
予想の主張には幾つか書き方があ. り，以下では Sn−1 に対する拡張作用素 E の重み付き L2 評価の制御を主題としています．
予想 3.1 (溝畑・竹内予想) n ≥ 2 とする．
外部ﾘﾝｸ[html]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
rims談話会/Colloquium
Title制限定理と関連する偏微分方程式論の諸問題
(Trace theorems and related topics on PDE) Date2023年6月28日（水） 16:45〜17:45 Place京都大学大学院理学研究科3号館110講演室
(Rm110, Building No.3, Faculty of Science, Kyoto University) Speaker杉本 充 (Mitsuru Sugimoto)氏 （名大・多元数理） Abstract ユークリッド空間上の連続関数は，定義域を超曲面に制限することにより，その超曲面上の連続関数と見なすことができる．この主張において，「連続」を「可積分」に置き換えることは可能だろうか？超曲面の測度は0 であるので，この場合はそこへの制限を自然な方法で定義できることすら必ずしも自明ではない．このような制限の存在を保証する一連の主張は「制限定理」と総称され，掛谷問題などの調和解析の有名な未解決問題とも関連していることが知られている．一方，制限定理と偏微分方程式論との密接な関連性も認識されており，例えばStrichartz評価式や平滑化評価式といったSchrödinger方程式のCauchy問題に関する基本的な評価式は，制限定理から導出可能であることが知られている．この講演ではこれらについて概説するとともに，平滑化評価式の最良定数の問題，さらにはそのSchrödinger型方程式のCauchy問題の適切性に関する溝畑・竹内予想との関連性などについて述べたい．
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.jsps.go.jp
中村昌平
日本学術振興会
2024/10/26 — Sobolev 型の溝畑・竹内予想及び Stein 予想が広いクラスの曲面に対して成立することを示した． 特筆すべきは，この結果において曲面に要求される条件 ...
つづく
551: 07/08(火)17:20 ID:07gmlzs1(4/4) AAS
つづき
外部ﾘﾝｸ:researchmap.jp
中村 昌平 researchmap
ナカムラ ショウヘイ (Shohei Nakamura)
共同研究・競争的資金等の研究課題
2021年4月 - 2023年3月
工学的アイデアを用いた調和解析学における未解決問題へのアプローチ
日本学術振興会 科学研究費助成事業 若手研究
最初の研究目標であった、一般の曲面に対する、Sobolev指数の意味で弱い溝畑竹内予想についての研究をおこなった。特に、空間２次元で、一般の曲線を考えた時に、曲率が各点で一様に真に浮いているという仮定の下で、肯定的な結果が得られた。これにより、Bennett--Nakamura (2021)の円に対する結果の一般化に成功した。他方で、オリジナルの溝畑竹内予想は、曲率によらない不等式であったため、いかにして曲率の条件を取り外すかについての研究も行っているが、現在のところ明らかになってはいない。
次に、オリジナルの溝畑竹内予想に向けて、フーリエ拡張作用素にトモグラフィー原理のアイデアを適用する研究を行った。Bennett--Nakamura (2021)において、単純にトモグラフィー再生公式をあてがうのみでは、オリジナルの溝畑竹内予想の解決までには至らないのではないか、という観察を与えていた。その問題点を解決するべく、時間周波数解析における概念の時間周波数分布関数を、適切なものを差し引くというアイデアを見いだした。その結果、量子物理学において現れるWigner distributionとの関連を見出した。その結果、そのWigner distributionをより広い枠組みで扱う、時間周波数解析の知見を取り入れるという新たな展開が得られた。
合わせて、Fokker--Planck方程式による正則化効果を用いて、関数不等式（NelsonのhypercontractivityとGrossの対数Sobolev不等式）が改良することができるという新たな知見を見出した
(引用終り)
以上
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