空集合があるなら空写像もあるの？ (69ﾚｽ)
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抽出解除 必死ﾁｪｯｶｰ(本家) (べ) 自ID ﾚｽ栞 あぼーん
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68: 10/02(木)23:04 ID:TwEtyvhN(1) AAS
A={}∨B={}⇒A×B=B×A={}。
以下 ¬(A={}∨B={}) とする。
いま A≠B を仮定。
あるa∈Aが存在して¬a∈B・・・(1) または あるb∈Bが存在して¬b∈A・・・(2)
(1)のとき、b∈Bを任意に取ると (a,b)∈A×B∧¬(a,b)∈B×A ∴¬A×B⊂B×A ∴A×B≠B×A。
(2)のときも同じことが言えるので結局 A×B≠B×A。対偶を取り A×B=B×A→A=B。
以上から A×B=B×A⇒A={}∨B={}∨A=B。
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