数学基礎論・数理論理学 その19 (605ﾚｽ)
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1(3): 2023/10/06(金)22:38 ID:tsskr+sA(1/3) AAS
数学基礎論は、素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として、
19世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。
現在では、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、
多くの分野に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
（「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも若干の個人差があるようです。）
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、代数幾何学、
英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
（数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
外部ﾘﾝｸ[html]:www.math.tohoku.ac.jp
或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化 などを参照）
従ってこのスレでは、基礎的な数学の質問はスレ違いとなります。
他のスレで御質問なさるようにお願いします。
前スレ
数学基礎論・数理論理学 その18
2chｽﾚ:math
576: 09/27(土)02:32 ID:qUL3Y1co(1/5) AAS
どっちの定義でも別によくね？少なくとも分かってないってことにはならんやろ
577(1): 09/27(土)10:32 ID:BkyF1P8S(1/10) AAS
現代数学において自然数の定義はひとつだよ
そんなの関係ねえ 俺は俺の道を行く と言うならご自由にどうぞ
578: 09/27(土)10:36 ID:8QK/7CNS(1) AAS
Oxfordの辞典にはペアのの公理は書かれていない
579: 09/27(土)10:51 ID:BkyF1P8S(2/10) AAS
だから君がそれを信じるならそれでいいじゃん
580(1): 09/27(土)11:07 ID:diLRMAwI(1/2) AAS
>>577
それは素朴すぎる
限定算術みたいな研究対象もあるので
581(1): 09/27(土)11:44 ID:BkyF1P8S(3/10) AAS
>>580
君の主張は
限定算術みたいな研究対象があるから自然数の定義は唯一でない
でよい？
582(1): 09/27(土)11:47 ID:diLRMAwI(2/2) AAS
>>581
小泉進次郎みたい
583: 09/27(土)11:57 ID:BkyF1P8S(4/10) AAS
>>582
違うと言うなら君の主張を君自身で述べればいいだけ
なぜ逃げる？
584: 09/27(土)12:00 ID:BkyF1P8S(5/10) AAS
まずは君の主張を確定させてくれないと、こちらとしては何も言えない
それが狙いかい？
585: 09/27(土)12:36 ID:fLAeLOLb(1) AAS
自然数を語るのに集合論は必要ないけどな
PAでいい
型理論を基礎にして自然数型を考えてもいい
586: 09/27(土)12:51 ID:BkyF1P8S(6/10) AAS
それはそうだが
>ZFC公理系の無限公理により存在が許される無限集合から自然数集合を分出するにはどうしたらいいか解説してください
からの流れだから
587: 09/27(土)15:54 ID:sOeMGv0M(1/3) AAS
>>571 ID:f0rZ2tau
＞{x∈I|∀y(φ(y)⇒x∈y)}は
＞要するにあらゆる帰納的集合の共通部分のこと。
＞帰納的集合の共通部分は帰納的集合なので
＞最小の帰納的集合となる。
>>572 ID:jwGIJR6a
＞そう、そうやって作った最小の帰納的集合には
＞我々が普通に考えられる自然数しか含まれていない事を
＞示してほしいんですよ
♪それはちょっと でーきーないー相談ねー（中森明菜か）
まず ID:jwGIJR6aのいう「普通に考えられる自然数」を
自然数の定義によって自然数であると証明できる自然数とする
そのようなものが自然数として含まれることはもちろん証明できる
逆に、そうでないものは自然数として含まれない
ということは一階述語論理上の自然数論では証明できない
具体的にはゲーデルの不完全性定理の系である
588(1): 09/27(土)16:03 ID:sOeMGv0M(2/3) AAS
>>575
>あなたの問題意識
>「我々が普通に考えられる自然数しか含まれていない事を示してほしい」
>は悪いけどまったくトンチンカンです。
トンチンカンとはいえないけど、「」は結果としてはできない
任意の自然数ｎに対して ｎ＜ωとなる自然数ωが存在する、という論理式を追加する
ｎ＜ωは、任意の有限個の自然数の存在と両立する
つまり自然数論の任意有限個の前提式を満たすモデルが存在する
そして一階述語論理ではコンパクト性定理が成立するので、
上記のωの存在を追加した自然数論のモデルが存在する
つまり、普通に考えられる自然数以外の非常識自然数が存在してもOK！
これ、ボクが言い出したことじゃないので
ボクに文句を言われてもどうしようもないです（笑）
589(1): 09/27(土)16:10 ID:sOeMGv0M(3/3) AAS
＞現代数学において自然数の定義はひとつだよ
ただそれを満たす自然数のモデルは一つではない
算術の超準モデル
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
算術の標準モデルを
「いかなる算術モデルにも含まれる元しか含まない」
とする
まあ、標準モデルは存在するだろうけど、
標準モデルのみがモデルであるような自然数論を
一階述語論理上の帰納的に公理化可能な理論として
構築することはできない
もし標準モデルのみがモデルとなるような理論を考えた場合
その理論の公理を具体的に人間が判定できる形で示すことはできないだろう
590: 09/27(土)18:20 ID:BkyF1P8S(7/10) AAS
>>588
>>あなたの問題意識
>>「我々が普通に考えられる自然数しか含まれていない事を示してほしい」
>>は悪いけどまったくトンチンカンです。
>トンチンカンとはいえないけど、「」は結果としてはできない
いやトンチンカン。なぜなら示すべきは
{x∈I|∀y(φ(y)⇒x∈y)}:=X
がペアノの公理を満たすことだから。
ちなみに、最小の極限順序数をωと書くとφ(ω)だから定義よりXはωの部分集合（X⊂ω）。これが「」への回答になってるかは知らんｗ
591: 09/27(土)18:30 ID:BkyF1P8S(8/10) AAS
>>589
>算術の超準モデル
>外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ぜんぜん関係無い。なぜなら
>{x∈I|∀y(φ(y)⇒x∈y)}:=X
が
>ZFC公理系の無限公理により存在が許される無限集合から自然数集合を分出するにはどうしたらいいか解説してください
への回答であって、この回答がvalidか否かはもっぱらXがペアノの公理を満たすか否かで定まるから。
592: 09/27(土)22:39 ID:qUL3Y1co(2/5) AAS
関係ないのかな
超準モデルみたいな事態になってないことが示したいことじゃないんけ？
593: 09/27(土)23:42 ID:BkyF1P8S(9/10) AAS
>X⊂ω
じゃ不十分と？
594: 09/27(土)23:47 ID:qUL3Y1co(3/5) AAS
それで十分だけど、Xがペアノの公理を満たすこととは違うよね
595: 09/27(土)23:54 ID:BkyF1P8S(10/10) AAS
>ZFC公理系の無限公理により存在が許される無限集合から自然数集合を分出するにはどうしたらいいか解説してください
への回答としてはXがペアノの公理を満たすこと
>「我々が普通に考えられる自然数しか含まれていない事を示してほしい」
への回答としてはX⊂ωであること
を示せばいんじゃね？ 知らんけど
596: 09/27(土)23:57 ID:qUL3Y1co(4/5) AAS
いやωをどう定義したかによるな
ω:=上のX
以外の流儀があるんだろうか
597: 09/27(土)23:58 ID:qUL3Y1co(5/5) AAS
普通の自然数しか含まれていないというのがなかなかはっきり書けないから適当でいいか
598(1): 09/28(日)00:39 ID:oZZhgLQ6(1/2) AAS
>>572 (続き)
分かってないなりにもう少し書いてみます
全ての帰納的集合の交叉を N' とします。
分出公理により N' は"集合" です
自然数の集まり: N
関数 S(x) := x ∪ {x}
述語 P(x) := ∃n∈N( x = S^n(0) )
599: 09/28(日)01:00 ID:oZZhgLQ6(2/2) AAS
>>598 (途中送信してしまった)
要するに極々素朴な直感を書き出すと
N = { x ∈ N' ; P(x) } と定義しても良いでしょうと
で、分出公理により N は "集合" です、
これ証明になってませんよね
問題なのは P(x) の "定義" です
n∈N : Nを定義する前に出てきちゃいました
S^n : Sのn重適用...こんなの基本的な論理式に還元できないような？
この辺りの回避方法があれば知りたかったのです
キューネン数学基礎論講義の序盤を読んで浮かんだ疑問です
たぶん先を読めば分かるんだろうと思いながら質問してみました
すみませんがスレで説明された事はよく理解できてません
600: 09/28(日)03:18 ID:zC51MUoh(1) AAS
有限回でたどり着けるを文字通りに定義するのは無理そうな気がするね
どうしてもNに依存しちゃうし、Nの元nについて、n回っていうのが有限回の定義だと認めないとだめなんじゃないかなあ
601: 09/29(月)16:55 ID:t8iNrpWU(1/3) AAS
自分の考えを書いてみる。有識者に見てもらいたい。
述語P(n)の量化（この文脈においては部分集合の量化と等価）を一階言語で表現できないため、オリジナルのペアノの公理Pa(Peano axioms)は二階言語で書かれている。
Paは範疇的、すなわち、(N,0,S),(N',0',S')がともにPaを満たすなら同型写像f:N→N'が唯一存在してf(0)=0'∧f(S(n))=S'(f(n))（デデキントが証明）。
一方でPA(Peano arithmetic as first-order theory)は範疇的でない。なぜなら一階言語では述語P(n)の量化ができないため、P(n)をパラメータとする公理図式が採用されているがパラメータは可算個しか許されないため、PAはPaよりも弱い公理系となっている。
そのためNの最小性が保証されず、超準モデルの存在を否定できない。
（This means that the second-order Peano axioms are categorical. (This is not the case with any first-order reformulation of the Peano axioms, below.)）
PaをZFの言語にPa'として翻訳できる。
（The Peano axioms can be derived from set theoretic constructions of the natural numbers and axioms of set theory such as ZF.）
Pa'はPaの内容をすべて表現できており（べき集合の公理を持つZFの言語で ∀E∈2^N を表現できるため）、
（The set N together with 0 and the successor function s : N → N satisfies the Peano axioms.）
これによりNの最小性が保証され、超準モデルの存在を否定できる。すなわちPa'も範疇的。
以上から、{x∈I|∀y(φ(y)⇒x∈y)}:=X がPa'を満たすことが言えれば（同型の違いを除いて）Xは標準自然数だけを持つと言える。
602: 09/29(月)16:55 ID:t8iNrpWU(2/3) AAS
[参照]
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Models
This means that the second-order Peano axioms are categorical. (This is not the case with any first-order reformulation of the Peano axioms, below.)
Set-theoretic models
The Peano axioms can be derived from set theoretic constructions of the natural numbers and axioms of set theory such as ZF.
The set of natural numbers N is defined as the intersection of all sets closed under s that contain the empty set.
The set N together with 0 and the successor function s : N → N satisfies the Peano axioms.
603: 09/29(月)22:21 ID:t8iNrpWU(3/3) AAS
Peano arithmetic as first-order theory
The axiom of induction above is second-order, since it quantifies over predicates (equivalently, sets of natural numbers rather than natural numbers). As an alternative one can consider a first-order axiom schema of induction. Such a schema includes one axiom per predicate definable in the first-order language of Peano arithmetic, making it weaker than the second-order axiom.[25] The reason that it is weaker is that the number of predicates in first-order language is countable, whereas the number of sets of natural numbers is uncountable. Thus, there exist sets that cannot be described in first-order language (in fact, most sets have this property).
604: 10/02(木)16:24 ID:oC122Iq+(1/2) AAS
集合論のモデルの中では自然数の集合は１つである
ただ、集合論のモデルは１つではないが・・・
605: 10/02(木)16:26 ID:oC122Iq+(2/2) AAS
つまり、集合論のモデルの中に唯一ある自然数の集合が標準的自然数である、ということはできない
集合論のモデルが標準モデルでない限りは・・・
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