数学基礎論・数理論理学 その19 (550ﾚｽ)
上下前次1-新
1(3): 2023/10/06(金)22:38 ID:tsskr+sA(1/3) AAS
数学基礎論は、素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として、
19世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。
現在では、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、
多くの分野に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
（「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも若干の個人差があるようです。）
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、代数幾何学、
英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
（数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
外部ﾘﾝｸ[html]:www.math.tohoku.ac.jp
或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化 などを参照）
従ってこのスレでは、基礎的な数学の質問はスレ違いとなります。
他のスレで御質問なさるようにお願いします。
前スレ
数学基礎論・数理論理学 その18
2chｽﾚ:math
521: 2024/12/01(日)08:03 ID:PVFgYFW1(1) AAS
>>518
はやく集合論が意味のないことをしていないことを示せよ
意味を定めないと無意味なんでしょ
さっさとしろよ
522(1): 2024/12/01(日)21:26 ID:VMilV3Yc(1) AAS
各種のナントカ基数を定義し、そのナントカ基数の存在を仮定するならば定理◯◯が証明できる
っていう議論をひたすら色んなナントカ基数を定義しながら繰り返す(？)のって、一体集合論って何なんやろって思わさせられる。
523(1): 2024/12/01(日)23:20 ID:lQZxmJtm(1) AAS
>>522
その必要性を理解できないんですね
524(1): 2024/12/02(月)01:52 ID:ufHSsbMM(1) AAS
>>523
こんな多すぎてやる気が起きひんやろ
画像ﾘﾝｸ
525: 2024/12/02(月)09:14 ID:tV9QZ81s(1) AAS
>>524
研究の宿命というかありがちな流れだと理解できてませんね
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
526: 2024/12/13(金)12:53 ID:IICqUMpV(1) AAS
数理論理学の教科書ってなんか
思いが勝って？意味不明瞭てか
定義して論証するスタイルから
逸脱してしまってる本もあるな
何を言おうとしているか曖昧で
527: 2024/12/13(金)14:06 ID:4qaWHamy(1) AAS
具体的に書名と該当する文章を記せ
ここに書けないならブログに書いてリンクを張れ
できないなら黙って●ね
528(1): 2024/12/13(金)17:28 ID:WbV8oUaV(1) AAS
定義して定理を証明するの繰り返しになってない数理論理学の本などあるわけがない
529(5): 2024/12/14(土)00:47 ID:uyPb+8af(1) AAS
>>528
その前に曖昧な「思い」を語って
定義が明確でなく証明も曖昧な本
530: 2024/12/14(土)01:00 ID:lG69qVA1(1/2) AAS
>>529
じゃあその本を引用してくれよ
お前が言ってること解析入門君以下だよ
531: 2024/12/14(土)23:04 ID:lG69qVA1(2/2) AAS
>>529
まだ？
結局いつもの妄想だったの？
532: 2024/12/15(日)18:29 ID:fyR+w7xX(1) AAS
>>529
「思い」の部分はいいから、試しに曖昧な定義ってのを貼ってごらんよ
なんでできないの？解析入門君でもできるのに
533: 2024/12/16(月)18:24 ID:iyAgqqtd(1) AAS
>>529
まだ？
これ自己紹介だったってオチ？＞思いが勝って？意味不明瞭
534: 2024/12/16(月)22:17 ID:8864eXoA(1) AAS
甘ちゃんね
535: 2024/12/18(水)03:26 ID:TlfsWdag(1) AAS
>>529
まだ？
君のqiitaに書いてくれてもいいんだよ
リンクは上のほうに貼ってあったし
536: 2024/12/18(水)07:07 ID:maOdtkR0(1) AAS
さっさと出て来て、なぜ集合のことを集合ではなくクラスと呼ぶのか定義に基づいて説明しろよ
537: 2024/12/23(月)11:43 ID:hUexyzcT(1/2) AAS
74 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2024/12/23(月) 10:25:49.39 ID:xuo45Noy
「なぜ、ZFC公理まで遡らなくても数学が出来るの？」スレの989
>『{}∈{{{}}}』について、個別に真だの偽だのを論じたことはない
この期に及んで言い逃れかい？
じゃあ以下の何がなぜ間違いか言ってごらん
（引用開始）
また正則性公理と関係無く推移律 a∈b ∧ b∈c ⇒ a∈c は成立しない
実際 {}∈{{}} ∧ {{}}∈{{{}}} は真だが、{}∈{{{}}} は偽。
（引用終了）
>おサルさんたちが、自分たちの言い逃れのため、ヤクザのインネンを付けてきているだけのことよ
>めんどう臭いから、スルーしていますｗ （＾＾
間違いだとインネン付けてきたのは君。インネンである証拠に君は何がなぜ間違いかを言ってない。
538: 2024/12/23(月)11:43 ID:hUexyzcT(2/2) AAS
75 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2024/12/23(月) 11:22:56.67 ID:DXqGPbwQ
集合{{{}}}の要素とは
最外の{}を外した項の列の中のそれぞれの項
したがって{{}}しかない
これ豆な 知らん奴は大学１年落第
539: 07/04(金)02:50 AAS
なぜ哲学は無意味で科学のみが学問と言えるのか
体系内と体系外の正しさ
体系内の正しさ
自明な正しさ
定義 論理構造だけで自明に真となる命題
例 命題論理の恒真式（トートロジー）
価値 形式的には正しくても新たな洞察を生まず、議論に貢献しない
非自明な正しさ
定義 モデル理論的事実や推論規則の適用を要し、形式体系のすべてのモデルで真となる命題
例 意味論的妥当性（⊨ φ）
価値 議論の本質を担うが、体系内で完全に獲得・検証することは不可能
1. 恒真式（トートロジー）
定義 真理値表で常に真となる式
特徴 自明に真で、新たな情報を付加せず議論に寄与しない
2. 意味論的妥当性（Validity）
定義 形式体系 K のすべてのモデルにおいて真となる式 φ の性質（⊨ φ）
特徴 どの解釈でも真である点が非自明性を示す
3. 形式的完全性（Completeness）
定義 意味論的に妥当な式は必ず証明可能である性質（⊨ φ ⇒ ⊢ φ）
特徴 一階述語論理における Gödel の 1930 年定理
4. 形式的健全性（Soundness）
定義 証明可能な式は必ず意味論的にも真である性質（⊢ φ ⇒ ⊨ φ）
特徴 証明体系の正当性を保証
5. 無矛盾性（Consistency）
定義 ある式 φ とその否定 ￢φ の両方が証明されない性質
特徴 十分強力かつ再帰的に公理化可能な体系は自身の無矛盾性を内部で証明できない（第二不完全性定理）
6. 公理の仮定性
定義 公理は証明せず仮定として受け入れる式
特徴 その正しさは体系外の検証（経験的・モデル存在証明など）に依存
体系外の正しさ
経験的検証
定義 現実世界の観測・実験結果と理論モデルの予測が一致することで得られる正しさ
特徴 自然科学も社会科学も、アンケート・脳波計測を含むあらゆる経験的手法で検証される場合に「科学」と呼ばれる
文学・芸術科学化
定義 文学や芸術の情緒・読者反応をアンケートや脳科学的計測で定量化し検証すれば「芸術科学」となる
特徴 感動度や倫理的判断も経験的データで評価可能
理論物理学の立場
定義 実験や観測のための概念・装置を準備する段階
特徴 必然的に後続の経験的検証を可能にすることが求められる
数学の位置付け
定義 公理の正しさを主張せず、体系内の健全性・完全性を追究する形式科学
特徴 外部的検証を要求せず、内部的整合性とモデル存在のみが評価基準
540: 07/04(金)02:50 AAS
主観・感情・読者解釈の形式化可能性
任意のテキストは背後にオントロジー（背景定義）を置くことで弱算術 Q の骨格を必然的に含む。たとえば
– 聖書「C(g,ω)」（創世記1:1）
– 源氏物語「L(genji,y,t)」「R(r,⌜L⌝,t)」
これらを含む理論 T は
再帰的可算（Henkin 1950）、
任意 r.e. 集合を Σ¹ 式で表現（Shepherdson 1961）、
T ⊬ Con(T) かつ決定不能文 θ を必ず抱える（Gödel 1931／Rosser 1936）
→ どんな背景定義を用いようと、現実世界への言及には弱算術 Q が不可欠であり、第一不完全性の射程外には出られない
純ナンセンスの例
g0d!#? ωω++ …
識別不能・順序不能・参照不能で再帰的列挙すらできず、意味が蒸発する
オントロジー層とテキスト層
テキスト層 書かれた文字列のみを扱い意味づけ不能
オントロジー層 背景定義・公理群でテキストをモデル化し初めて意味を獲得
反例と現実性
反例は「テキストに乗法記号がないから形式体系に Q が含まれない」という誤解を打ち破る。
– なんでも計算できるコンピューター：テキストに×がなくとも「チューリング完全」と定義すれば Q を内包
– 源氏物語の物理社会：面積＝縦×横、速度×時間、単価×数量を想定すれば必ず Q を前提
– Presburger 算術：加法のみでは現実世界を一切表現できず、意味ある主張にはなり得ない
まとめ
1. 意味ある文章とは「現実世界への言及そのもの」であり、その参照自体が意味である
2. 現実世界への言及ならば必ず弱算術 Q を含み、Q を含まないなら現実世界への言及とはならず意味を持たない
3. Q を含まない理論は純粋ノイズにすぎず、現実世界に対する意味ある主張として成立しない
4. 唯一の非自明な正しさを担保できるのは経験的検証による科学のみである
5. 経験的情報を取り入れれば自然科学・社会科学・芸術科学・倫理科学・理論物理学へと回収され、取り入れなければ純粋形而上学にとどまり無意味な妄想となる
つまり生き残れる哲学は存在せず、唯一の可能な学問は科学のみである
541: 07/04(金)02:50 AAS
数学はもちろん形式科学だから学問
542(1): 07/04(金)02:51 AAS
出来るはずのない論理のタブーを犯しているため哲学や形而上学は学問ではない
543: 07/04(金)03:04 AAS
なぜ哲学は無意味で科学のみが学問と言えるのか
体系内と体系外の正しさ
体系内の正しさ
自明な正しさ
定義 論理構造だけで自明に真となる命題
例 命題論理の恒真式（トートロジー）
価値 形式的には正しくても新たな洞察を生まず、議論に貢献しない
非自明な正しさ
定義 モデル理論的事実や推論規則の適用を要し、形式体系のすべてのモデルで真となる命題
例 意味論的妥当性（⊨ φ）
価値 議論の本質を担うが、体系内で完全に獲得・検証することは不可能
1. 恒真式（トートロジー）
定義 真理値表で常に真となる式
特徴 自明に真で、新たな情報を付加せず議論に寄与しない
2. 意味論的妥当性（Validity）
定義 形式体系 K のすべてのモデルにおいて真となる式 φ の性質（⊨ φ）
特徴 どの解釈でも真である点が非自明性を示す
3. 形式的完全性（Completeness）
定義 意味論的に妥当な式は必ず証明可能である性質（⊨ φ ⇒ ⊢ φ）
特徴 一階述語論理における Gödel の 1930 年定理
4. 形式的健全性（Soundness）
定義 証明可能な式は必ず意味論的にも真である性質（⊢ φ ⇒ ⊨ φ）
特徴 証明体系の正当性を保証
5. 無矛盾性（Consistency）
定義 ある式 φ とその否定 ¬φ の両方が証明されない性質
特徴 十分強力かつ再帰的に公理化可能な体系は自身の無矛盾性を内部で証明できない（第二不完全性定理）
6. 公理の仮定性
定義 公理は証明せず仮定として受け入れる式
特徴 その正しさは体系外の検証（経験的・モデル存在証明など）に依存
体系外の正しさ
経験的検証
定義 現実世界の観測・実験結果と理論モデルの予測が一致することで得られる正しさ
特徴 自然科学も社会科学も、アンケート・脳波計測を含むあらゆる経験的手法で検証される場合に「科学」と呼ばれる
文学・芸術科学化
定義 文学や芸術の情緒・読者反応をアンケートや脳科学的計測で定量化し検証すれば「芸術科学」となる
特徴 感動度や倫理的判断も経験的データで評価可能
理論物理学の立場
定義 実験や観測のための概念・装置を準備する段階
特徴 必然的に後続の経験的検証を可能にすることが求められる
数学の位置付け
定義 公理の正しさを主張せず、体系内の健全性・完全性を追究する形式科学
特徴 外部的検証を要求せず、内部的整合性とモデル存在のみが評価基準
544: 07/04(金)03:04 AAS
主観・感情・読者解釈の形式化可能性
任意のテキストは背後にオントロジー（背景定義）を置くことで弱算術 Q の骨格を必然的に含む。たとえば
– 聖書「C(g,ω)」（創世記1:1）
– 源氏物語「L(genji,y,t)」「R(r,⌜L(genji,y,t)⌝,t)」
これらを含む理論 T は
再帰的可算（Henkin 1950）、
任意 r.e. 集合を Σ¹ 式で表現（Shepherdson 1961）、
T ⊬ Con(T) かつ決定不能文 θ を必ず抱える（Gödel 1931／Rosser 1936）
→ どんな背景定義を用いようと、現実世界への言及には弱算術 Q が不可欠であり、第二不完全性定理の射程外には出られない
感情・解釈・文化的文脈・美学の形式化可能性
任意の感情（喜び・悲しみ）、解釈（読者反応）、文化的文脈、美学的価値判断は、次のようにオントロジー層で定義・形式化できる。
– 個体定数や関係記号を用いて「感情状態」「解釈行為」「文化的属性」「美学的評価」を命題として表現
– 時点や対象を数える 0, S() を導入し、読者や文化集団ごとの反応を R(r,p,t) の形で量化
– 「美的快の強度」「文化的背景の識別」「解釈パターン」を数理モデル化して Σ¹ 式で表現
→ どのような主観的要素であっても弱算術 Q の骨格を含む形式体系に組み込まれ、第二不完全性定理の射程外には逃げられない
純ナンセンスの例
g0d!#? ωω++ …
識別不能・順序不能・参照不能で再帰的列挙すらできず、意味が蒸発する
オントロジー層とテキスト層
テキスト層 書かれた文字列のみを扱い意味づけ不能
オントロジー層 背景定義・公理群でテキストをモデル化し初めて意味を獲得
反例と現実性
反例は「テキストに乗法記号がないから形式体系に Q が含まれない」という誤解を打ち破る。
– なんでも計算できるコンピューター：テキストに×がなくとも「チューリング完全」と定義すれば Q を内包
– 源氏物語の物理社会：面積＝縦×横、速度×時間、単価×数量を想定すれば必ず Q を前提
– Presburger 算術：加法のみでは現実世界を一切表現できず、意味ある主張とはなり得ない
まとめ
1. 意味ある文章とは「現実世界への言及そのもの」であり、その参照自体が意味である
2. 現実世界への言及ならば必ず弱算術 Q を含み、Q を含まないなら現実世界への言及とはならず意味を持たない
3. Q を含まない理論は純粋ノイズにすぎず、現実世界に対する意味ある主張として成立しない
4. 唯一の非自明な正しさを担保できるのは経験的検証による科学のみである
5. 経験的情報を取り入れれば自然科学・社会科学・芸術科学・倫理科学・理論物理学へと回収され、取り入れなければ純粋形而上学にとどまり無意味な妄想となる
つまり生き残れる哲学は存在せず、唯一の可能な学問は科学のみである
545(4): 07/04(金)04:04 ID:UZ8rVv9G(1) AAS
>>542
「哲学や形而上学は学問ではない」という意見だけど、それは一般的な見方とは違うね。
多くの大学で哲学や形而上学はちゃんとした研究分野として扱われているし、歴史的にも重要な学問として認識されている。例えば、古代ギリシャのプラトンやアリストテレスから近代のデカルトやカント、現代の分析哲学まで、多くの思想家たちが論理に基づいた思考を展開してきた。彼らの議論は、論理的な整合性を重んじ、緻密な思考によって構築されている。
「出来るはずのない論理のタブーを犯している」という点が具体的に何を指しているのか不明だけど、もしそれが哲学的な問いの性質、つまり経験的な検証が難しい領域を扱っていることだとしたら、それは哲学の特性であって、学問としての価値を否定するものではない。むしろ、科学では扱えない根源的な問い、例えば「存在とは何か」「知識はどのようにして得られるのか」「道徳の基礎は何か」といった事柄を探求するのが哲学の役割だ。
これらの問いは、論理的な思考や概念分析を通して深く掘り下げられ、人文科学や社会科学だけでなく、自然科学の基礎にも影響を与えている。学問の定義は多様だけど、一般的には体系的な知識の探求、批判的な思考、そして議論の構築が含まれる。哲学や形而上学は、まさにこれらの要素を満たしていると言えるだろう。
546: 07/04(金)04:35 AAS
>>545
論理的思考は不可能で権威主義と
大学でホメオパシー教えてたら学問と
知能0
タブーが何が書かれている
ゲーデルの第二不完全性定理違反
ウィトゲンシュタインによる形而上学の無意味性証明すら知らんアホが吠えんなや
547: 07/04(金)04:35 AAS
>>545
なぜ哲学は無意味で科学のみが学問と言えるのか
体系内と体系外の正しさ
体系内の正しさ
自明な正しさ
定義 論理構造だけで自明に真となる命題
例 命題論理の恒真式（トートロジー）
価値 形式的には正しくても新たな洞察を生まず、議論に貢献しない
非自明な正しさ
定義 モデル理論的事実や推論規則の適用を要し、形式体系のすべてのモデルで真となる命題
例 意味論的妥当性（⊨ φ）
価値 議論の本質を担うが、体系内で完全に獲得・検証することは不可能
1. 恒真式（トートロジー）
定義 真理値表で常に真となる式
特徴 自明に真で、新たな情報を付加せず議論に寄与しない
2. 意味論的妥当性（Validity）
定義 形式体系 K のすべてのモデルにおいて真となる式 φ の性質（⊨ φ）
特徴 どの解釈でも真である点が非自明性を示す
3. 形式的完全性（Completeness）
定義 意味論的に妥当な式は必ず証明可能である性質（⊨ φ ⇒ ⊢ φ）
特徴 一階述語論理における Gödel の 1930 年定理
4. 形式的健全性（Soundness）
定義 証明可能な式は必ず意味論的にも真である性質（⊢ φ ⇒ ⊨ φ）
特徴 証明体系の正当性を保証
5. 無矛盾性（Consistency）
定義 ある式 φ とその否定 ￢φ の両方が証明されない性質
特徴 十分強力かつ再帰的に公理化可能で無矛盾な体系は自身の無矛盾性を内部で証明できない（第二不完全性定理）
6. 公理の仮定性
定義 公理は証明せず仮定として受け入れる式
特徴 その正しさは体系外の検証（経験的・モデル存在証明など）に依存
体系外の正しさ
経験的検証
定義 現実世界の観測・実験結果と理論モデルの予測が一致することで得られる正しさ
特徴 自然科学も社会科学も、アンケート・脳波計測を含むあらゆる経験的手法で検証される場合に「科学」と呼ばれる
文学・芸術科学化
定義 文学や芸術の情緒・読者反応をアンケートや脳科学的計測で定量化し検証すれば「芸術科学」となる
特徴 感動度や倫理的判断も経験的データで評価可能
理論物理学の立場
定義 実験や観測のための概念・装置を準備する段階
特徴 必然的に後続の経験的検証を可能にすることが求められる
数学の位置付け
定義 公理の正しさを主張せず、体系内の健全性・完全性を追究する形式科学
特徴 外部的検証を要求せず、内部的整合性とモデル存在のみが評価基準
548: 07/04(金)04:35 AAS
>>545
主観・感情・読者解釈の形式化可能性
任意のテキストは背後にオントロジー（背景定義）を置くことで弱算術 Q の骨格を必然的に含む。たとえば
– 聖書「C(g,ω)」（創世記1:1）
– 源氏物語「L(genji,y,t)」「R(r,⌜L(genji,y,t)⌝,t)」
これらを含む理論 T は
再帰的可算（Henkin 1950）、
任意 r.e. 集合を Σ¹ 式で表現（Shepherdson 1961）、
T ⊬ Con(T) かつ決定不能文 θ を必ず抱える（Gödel 1931／Rosser 1936）
→ どんな背景定義を用いようと、現実世界への言及には弱算術 Q が不可欠であり、第二不完全性定理の射程外には出られない
感情・解釈・文化的文脈・美学の形式化可能性
任意の感情（喜び・悲しみ）、解釈（読者反応）、文化的文脈、美学的価値判断は、次のようにオントロジー層で定義・形式化できる。
– 個体定数や関係記号を用いて「感情状態」「解釈行為」「文化的属性」「美学的評価」を命題として表現
– 時点や対象を数える 0, S() を導入し、読者や文化集団ごとの反応を R(r,p,t) の形で量化
– 「美的快の強度」「文化的背景の識別」「解釈パターン」を数理モデル化して Σ¹ 式で表現
→ どのような主観的要素であっても弱算術 Q の骨格を含む形式体系に組み込まれ、第二不完全性定理の射程外には逃げられない
純ナンセンスの例
g0d!#? ωω++ …
識別不能・順序不能・参照不能で再帰的列挙すらできず、意味が蒸発する
オントロジー層とテキスト層
テキスト層 書かれた文字列のみを扱い意味づけ不能
オントロジー層 背景定義・公理群でテキストをモデル化し初めて意味を獲得
反例と現実性
反例は「テキストに乗法記号がないから形式体系に Q が含まれない」という誤解を打ち破る。
– なんでも計算できるコンピューター：テキストに×がなくとも「チューリング完全」と定義すれば Q を内包
– 源氏物語の物理社会：面積＝縦×横、速度×時間、単価×数量を想定すれば必ず Q を前提
– Presburger 算術：加法のみでは現実世界を一切表現できず、意味ある主張とはなり得ない
まとめ
1. 意味ある文章とは「現実世界への言及そのもの」であり、その参照自体が意味である
2. 現実世界への言及ならば必ず弱算術 Q を含み、Q を含まないなら現実世界への言及とはならず意味を持たない
3. Q を含まない理論は純粋ノイズにすぎず、現実世界に対する意味ある主張として成立しない
4. 唯一の非自明な正しさを担保できるのは経験的検証による科学のみである
5. 経験的情報を取り入れれば自然科学・社会科学・芸術科学・倫理科学・理論物理学へと回収され、取り入れなければ純粋形而上学にとどまり無意味な妄想となる
つまり生き残れる哲学は存在せず、唯一の可能な学問は科学のみである
549: 07/04(金)04:36 AAS
>>545
感情・解釈・文化的文脈・美学の形式化可能性
任意の感情（喜び・悲しみ）、解釈（読者反応）、文化的文脈、美学的価値判断は、以下のようにオントロジー層で定義・形式化できる。
– 個体定数や関係記号を用いて「感情状態」「解釈行為」「文化的属性」「美学的評価」を命題として表現
– 時点や対象を数える 0, S() を導入し、読者や文化集団ごとの反応を R(r,p,t) の形で量化
– 「美的快の強度」「文化的背景の識別」「解釈パターン」を数理モデル化して Σ¹ 式で表現
これにより、どのような主観的要素であっても弱算術 Q の骨格を含む形式体系に組み込まれ、第二不完全性定理の射程外には逃げられない。
550: 07/05(土)19:16 ID:IkzxlKx6(1) AAS
殺害予告常習犯フクロナガサ晒しage
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