数学基礎論・数理論理学　その19

数学基礎論・数理論理学　その19 (605ﾚｽ)
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601: １３２人目の素数さん [] 2025/09/29(月) 16:55:17.90 ID:t8iNrpWU

自分の考えを書いてみる。有識者に見てもらいたい。

述語P(n)の量化（この文脈においては部分集合の量化と等価）を一階言語で表現できないため、オリジナルのペアノの公理Pa(Peano axioms)は二階言語で書かれている。
Paは範疇的、すなわち、(N,0,S),(N',0',S')がともにPaを満たすなら同型写像f:N→N'が唯一存在してf(0)=0'∧f(S(n))=S'(f(n))（デデキントが証明）。
一方でPA(Peano arithmetic as first-order theory)は範疇的でない。なぜなら一階言語では述語P(n)の量化ができないため、P(n)をパラメータとする公理図式が採用されているがパラメータは可算個しか許されないため、PAはPaよりも弱い公理系となっている。
そのためNの最小性が保証されず、超準モデルの存在を否定できない。
（This means that the second-order Peano axioms are categorical. (This is not the case with any first-order reformulation of the Peano axioms, below.)）

PaをZFの言語にPa'として翻訳できる。
（The Peano axioms can be derived from set theoretic constructions of the natural numbers and axioms of set theory such as ZF.）
Pa'はPaの内容をすべて表現できており（べき集合の公理を持つZFの言語で ∀E∈2^N を表現できるため）、
（The set N together with 0 and the successor function s : N → N satisfies the Peano axioms.）
これによりNの最小性が保証され、超準モデルの存在を否定できる。すなわちPa'も範疇的。

以上から、{x∈I|∀y(φ(y)⇒x∈y)}:=X がPa'を満たすことが言えれば（同型の違いを除いて）Xは標準自然数だけを持つと言える。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/601

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