[過去ﾛｸﾞ] 複素解析 (1002ﾚｽ)
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941(4): 2022/09/25(日)21:39 ID:adrg4J+e(3/3) AAS
おかしい。g(z)が円周上と円周の内部で正則な関数であれば、
周上で積分をすれば0になるというのがコーシーの定理。
ところが、f(z)=1/z の値を原点を中心とする円周上で積分すると
留数として2πi を得る。
よって，1／ｚと同じ値を単位円周上で取りながら、
周を含めて単位円盤上で正則な関数は存在しないはずだよ。
942: 2022/09/25(日)22:39 ID:g6XGVuBw(4/4) AAS
>>941
それはネタにマジレスというものではないのか？
943: 2022/09/25(日)23:43 ID:R5QTp6Wd(5/8) AAS
>>941
>>934をもう一度良く整理して書くと、
単位円周上の任意の連続関数 f(w) (|w|=1) を与えたとき、
g(z) ：= 1/(2πi) * ∫_{|w|=1} f(w)/(w-z) dw
と定義すると、g(z) は内部 |z|<1 で正則となる．
944: 2022/09/25(日)23:46 ID:R5QTp6Wd(6/8) AAS
>>941
求めた正則関数は g(z) だから、コーシーの積分定理を使って 0 は g(z) について成立するが、
その式は g(z) の周回積分だから、結果2重積分になる（答は0）。
しかし、与えた関数 f(w) は円周でしか定義されていない連続関数であることに注意。
946: 2022/09/25(日)23:51 ID:R5QTp6Wd(8/8) AAS
>>941
> よって，1／ｚと同じ値を単位円周上で取りながら、
> 周を含めて単位円盤上で正則な関数は存在しないはずだよ。
境界の円周まで込めて正則というのであれば、それは無理。
私の答も円の内部 |z|<1 としています。
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