現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む83

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260(3): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/02/12(水)00:00 ID:8axgfTbD(1/19) AAS
【コンパクト性定理】を否定するのは、無理ゲーでしょ（＾＾；
外部ﾘﾝｸ:fujicategory.hatenadiary.org
数学基礎論の勉強ノート
2011-06-22
１階論理のコンパクト性 fujicategory

第１章
【コンパクト性定理】
１階論理の公理系Ｔの任意有限部分がモデルを持つならば、Ｔはモデルを持つ。

ここで出てくる「コンパクト性」は、位相空間での「コンパクト性」と何か関係があるのかなーと思ってググってみたら、やっぱりあった。３．５秒で疑問が解決しました。

外部ﾘﾝｸ:d.hatena.ne.jp
コンパクト空間と論理／モデル論　檜山正幸のキマイラ飼育記

位相空間がコンパクトであることの定義はいくつかありますけど、そのうちのひとつ：
有限交叉性を持つ任意の閉集合系は、空でない共通部分を持つ。
これが関わってくるんですね。ｵﾓｼﾛｲﾅｰ。

ウルトラフィルターを使えばコンパクト性定理は証明できますが、新井先生の本では命題論理のコンパクト性を通して１階論理のコンパクト性を証明していました。

命題論理で論理式が充足可能であることを、真理値への対応つまり付値によって定義
↓
命題論理のコンパクト性：
命題論理の論理式の集合が充足可能　⇔　Ｔの任意有限部分が充足可能
↓
Henkin拡張しちゃって、１階論理の公理系を命題論理の論理式の集合とみなす。ここから１階論理のコンパクト性の証明

命題論理のコンパクト性を証明する時に、任意有限部分が充足可能な論理式の集合で極大なものを考えていくあたりに、ウルトラフィルターの片鱗を感じました。

261(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/02/12(水)00:05 ID:8axgfTbD(2/19) AAS
>>260
追加
外部ﾘﾝｸ:m-hiyama.hatena（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾）
檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
2005-12-07
コンパクト空間と論理／モデル論
(抜粋)
[前置き]だいぶ前に（だいたいは）書いてあったものだけど、今が“あげどき(time to upload)”かな、と思うので、長いけど日記エントリにします。[/前置き]
ハウスドルフ空間のコンパクト性は、解析で重要な概念だが、論理や代数幾何でも（解析とはまた違った感じで）コンパクト性は大事。こっち（解析じゃない）方面では、非ハウスドルフなコンパクト空間も出てくる。
[追記 date="12-08"]（閉集合の和に関する記述を忘れていたので追加。）[/追記]

内容：
モデルの空間
論理式が定義する関数
位相空間としてのモデル空間
補足または蛇足 -- 推論の練習
コンパクト性定理
モデル空間のコンパクト性

コンパクト性定理
モデル論の「コンパクト性定理」とは、論理式の集合Aがモデルを持つかどうかに関する主張である。

Aの任意の有限部分集合がモデルを持つ ⇔ Aがモデルを持つ
これは、Aが有限のときは面白くない。論理式の無限集合に対して成立するのがすごいところだ。

論理式の集合が「矛盾する」とはモデルを持たないことだと“定義”すれば、コンパクト性定理は次のことを言っている。

Aが矛盾する ⇔ Aの有限部分集合で矛盾するものがある
つまり、矛盾が生じる原因が「公理が無限個だから」ということではなくて、無限のなかの有限個で既に矛盾が生じているのである。矛盾の原因を有限個の論理式として（超越的／原理的には）特定できることになる。

応用としては、例えば、普通の自然数に加えて無限大自然数をたくさん（ものすごくたくさん）入れても、矛盾なく自然数概念が定義できる（モデルが存在する）、とかを示せる。こうしてできるモデルは、超準自然数系だが、実際に構成するにはウルトラフィルター／ウルトラ積を使う。

262(4): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/02/12(水)00:16 ID:8axgfTbD(3/19) AAS
>>260
＞【コンパクト性定理】を否定するのは、無理ゲーでしょ（＾＾；

追加
外部ﾘﾝｸ:www.math.tsukuba.ac.jp
ロジックの部屋
坪井明人筑波大
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.tsukuba.ac.jp
数理論理学ＩＩ
第 2 章モデル理論の基礎 21
2.1 構造と同型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 コンパクト性定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5 応用例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5.1 ４色定理と無限地図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5.2 順序集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

定理 53 (コンパクト性定理). T を閉論理式の集合とする．このとき次は同値
である：
1. T はモデルを持つ；
2. T の任意の有限部分集合 T0 はモデルを持つ．
証明. 1 ⇒ 2 は自明である．2 ⇒ 1 の対偶を示す．

2.5 応用例
2.5.1 ４色定理と無限地図
平面内に書かれた有限個の国を持つ地図は，４色を用いて隣国が同じ色にな
らないように塗り分けられる（ Kenneth Appel and Wolfgang Haken）．実は
この４色定理は無限個の国を持つ地図でも成立する．このことはコンパクト性
定理を使うと簡単に分かる．

T がモデルを持つことを示せば十分である．コンパクト性定理により，T の
各有限部分がモデルを持つことを示せばよい．しかし，それは有限地図 (有限
グラフ) に対する４色定理から明らかである．

263(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/02/12(水)00:28 ID:8axgfTbD(4/19) AAS
こんなのもある
いつもお世話に成っている渕野昌先生（＾＾

外部ﾘﾝｸ:fuchino（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾）
有限から無限への移行原理としての
命題論理
渕野昌
神戸大学大学院システム情報学研究科 June 11．2012
有限から無限への移行原理としてのコンパクト性

264(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/02/12(水)00:41 ID:8axgfTbD(5/19) AAS
下記の
数理論理学（1）
小野寛晰
Ono Hiroakira
情報処理,20(8), (1979-08-15)
にも、コンパクト性定理の解説があるよ

外部ﾘﾝｸ[php]:ipsj.ixsq.nii.ac.jp
情報処理学会

数理論理学（4）
小野寛晰
Ono Hiroakira
情報処理,20(12), (1979-12-15)

数理論理学（3）
小野寛晰
Ono Hiroakira
情報処理,20(11), (1979-11-15)

数理論理学（2）
小野寛晰
Ono Hiroakira
情報処理,20(9), (1979-09-15)

外部ﾘﾝｸ:ipsj.ixsq.nii.ac.jp
数理論理学（1）
小野寛晰
Ono Hiroakira
情報処理,20(8), (1979-08-15)

266(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/02/12(水)00:47 ID:8axgfTbD(6/19) AAS
>>262
補足
(引用開始)
2.5 応用例
2.5.1 ４色定理と無限地図
平面内に書かれた有限個の国を持つ地図は，４色を用いて隣国が同じ色にな
らないように塗り分けられる（ Kenneth Appel and Wolfgang Haken）．実は
この４色定理は無限個の国を持つ地図でも成立する．このことはコンパクト性
定理を使うと簡単に分かる．

T がモデルを持つことを示せば十分である．コンパクト性定理により，T の
各有限部分がモデルを持つことを示せばよい．しかし，それは有限地図 (有限
グラフ) に対する４色定理から明らかである．
(引用終り)

要するに、任意の有限地図 (有限グラフ) に対する４色定理から
コンパクト性定理により、「４色定理は無限個の国を持つ地図でも成立する」ってこと

だから、>>246より任意の有限部分族が独立のとき→確率変数の無限族は独立
（「”確率変数の無限族の独立性の微妙さ”などと時枝氏は言ってるが，これは全くの的外れ」）
ってことです（＾＾；

268(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/02/12(水)00:50 ID:8axgfTbD(7/19) AAS
>>265
>少数のルール0.000…０＝0.000…１により
>
>対角線論法は間違い

？
クワスク

269(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/02/12(水)00:52 ID:8axgfTbD(8/19) AAS
>>267
>>>218は極限以前に時枝戦略と無関係な当てずっぽう戦略になってる時点で無意味ですけどね。

逆でしょ
極限でどうなるかをしっかり考えないから
トリックに騙されると思うよ（＾＾；

286: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/02/12(水)07:38 ID:8axgfTbD(9/19) AAS
>>282-283
残念だがろうが、おれは、それには否定も肯定もしない
リアルのだれか別人に迷惑を掛ける可能性があるからね

過去にもそういう話を出した人が居たがね
本人が名乗るのは、本人の責任だが

そういう、憶測を流すと、リアルのだれかが風評被害を受けることも考えられる
そのとき、本人が名乗っていれば、本人の責任だが

もし、ネットの風評被害で訴えられて、５ｃｈ運営側が情報を開示して、匿名性がなくなり、風評被害を流した人が訴えられる可能性があるよ
マスコミに、あんたちの名前が出る可能性もあるぜ

おれは、この件にはタッチしないよ
宣言しておくぜ。風評被害になったときは、貴方達の責任だ

287(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/02/12(水)07:41 ID:8axgfTbD(10/19) AAS
>>270
＞０．００００…０＝０．００００…１はあらゆる計算「のルールで正しい

なるほど、極限を取る話か

lim n→∞ ０．００００…０＝lim n→∞ ０．００００…１
は正しいな

288(3): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/02/12(水)07:47 ID:8axgfTbD(11/19) AAS
>>278
＞私の方法で初等的にフェルマー予想をするのには限界があった。

おっちゃん、どうも、スレ主です。
フェルマー予想の初等的証明などに、手を付けない方が良いと思うよ
フェルマー予想の歴史を調べればわかりそうだが
おっと、おっちゃんは、文献読まない主義だったな（＾＾；

289(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/02/12(水)07:51 ID:8axgfTbD(12/19) AAS
>>266 補足
>要するに、任意の有限地図 (有限グラフ) に対する４色定理から
>コンパクト性定理により、「４色定理は無限個の国を持つ地図でも成立する」ってこと
>だから、>>246より任意の有限部分族が独立のとき→確率変数の無限族は独立
>（「”確率変数の無限族の独立性の微妙さ”などと時枝氏は言ってるが，これは全くの的外れ」）

簡単な話です
”任意の有限部分族が独立のとき→確率変数の無限族は独立”という定義は
コンパクト性定理が裏付けになるから
「”確率変数の無限族の独立性の微妙さ”などと時枝氏は言ってるが，これは全くの的外れ」

任意の有限地図 (有限グラフ) に対する４色定理から
コンパクト性定理により、「４色定理は無限個の国を持つ地図でも成立する」と同じ話です

291(5): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/02/12(水)08:04 ID:8axgfTbD(13/19) AAS
>>32
戻る

時枝さん、あの記事で４つくらい外している
1つは、確率変数の無限族の独立性
スレ20 2chｽﾚ:math
”確率変数の無限族の独立性の微妙さ”などと時枝氏は言ってるが，これは全くの的外れ

も1つは、非可測の話
時枝さん、ヴィタリの話をしているが
本当は、ジムの数学徒氏（>>6）が言った下記なんだ
スレ80 2chｽﾚ:math
”確率論の公理の要請に反してしまう”ってこと

さらに、時枝氏自身が、あの記事の前半の戦略が不成立であることを
しっかりと認識しないで、
そこをぼかして書いたこと

あと、追加で>>22 >>211 に書いているが、下記の＜時枝記事の可算無限数列の数当て定理 ”もどき”＞不成立
スレ80 2chｽﾚ:math
時枝問題（数学セミナー201511月号の記事
(引用開始)
実数列の集合 R^Nを考える.
s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^Nは，ある番号から先のしっぽが一致する∃n0：n >= n0 → sn＝ s'n とき同値s 〜 s'と定義しよう(いわばコーシーのべったり版).
念のため推移律をチェックすると，sとs'が1962番目から先一致し，s'とs"が2015番目から先一致するなら，sとs"は2015番目から先一致する.
〜は R^N を類別するが，各類から代表を選び，代表系を袋に蓄えておく.
幾何的には商射影 R^N→ R^N/〜の切断を選んだことになる.
任意の実数列s に対し，袋をごそごそさぐってそいつと同値な(同じファイパーの)代表r= r(s)をちょうど一つ取り出せる訳だ.
sとrとがそこから先ずっと一致する番号をsの決定番号と呼び，d = d(s)と記す.
つまりsd，sd+1，sd+2,・・・を知ればsの類の代表r は決められる.
更に，何らかの事情によりdが知らされていなくても，あるD>=d についてsD+1， sD+2，sD+3，・・・
が知らされたとするならば，それだけの情報で既に r = r(s)は取り出せ，したがってd= d(s)も決まり，
結局sd (実はsd，sd+1，・・・，sD ごっそり)が決められることに注意しよう.
(補足)
sD+1， sD+2，sD+3，・・・：ここでD+1などは下付添え字
(引用終り)

292(2): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/02/12(水)08:15 ID:8axgfTbD(14/19) AAS
>>290
>フェルマー予想のことは殆ど知らないこともあり、
>外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
>を参考にして>>278を書いただけなのに、>>283を書く人間が出て来て困る。

おっちゃん、どうも、スレ主です。
それが、”うかつ”でしょ
wikipediaには、多くの初等的な失敗は書かれていない

良く知らないのに、初等的な失敗を繰返して
カキコすると
まずいよね（＾＾；

346(2): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/02/12(水)20:46 ID:8axgfTbD(15/19) AAS
>>291 <再まとめ>

時枝さん、あの記事で４つくらい外している
1つは、確率変数の無限族の独立性
スレ20 2chｽﾚ:math
”確率変数の無限族の独立性の微妙さ”などと時枝氏は言ってるが，これは全くの的外れ
　根拠は、>>247のコンパクト性定理外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
”一階述語論理の文の集合がモデルを持つこと（充足可能であること）と、その集合の任意の有限部分集合がモデルを持つことが同値であるという定理である。”
（ >>262より無限地図の４色定理が、コンパクト性定理で証明できるよ）

も1つは、非可測の話
時枝さん、ヴィタリの話をしているが
本当は、ジムの数学徒氏（>>6）が言った下記なんだ
スレ80 2chｽﾚ:math
”確率論の公理の要請に反してしまう”ってこと
（>>215より細かいが、実際使う同値類は有限個に過ぎないので、選択公理のフルパワーは必要としないことも附言しておく）

3つには、>>22 >>211 に書いているが、下記の＜時枝記事の可算無限数列の数当て定理 ”もどき”＞不成立
補強で、>>321 ”注意 4.8. この定理が証明されれば，最初から limn→∞ an = a の定義を，aω =〜 a が全ての
無限大超自然数 ω に対して成立する事としてもよい事になる．これは「数列の ∞ 番目がい
つも同じ数」という意味であり，より直感的な収束の定義である．”

つづく

347(2): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/02/12(水)20:48 ID:8axgfTbD(16/19) AAS
>>346
つづき
（参考）
スレ80 2chｽﾚ:math
時枝問題（数学セミナー201511月号の記事
＜時枝記事の可算無限数列の数当て定理 ”もどき”＞
(引用開始)
実数列の集合 R^Nを考える.
s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^Nは，ある番号から先のしっぽが一致する∃n0：n >= n0 → sn＝ s'n とき同値s 〜 s'と定義しよう(いわばコーシーのべったり版).
念のため推移律をチェックすると，sとs'が1962番目から先一致し，s'とs"が2015番目から先一致するなら，sとs"は2015番目から先一致する.
〜は R^N を類別するが，各類から代表を選び，代表系を袋に蓄えておく.
幾何的には商射影 R^N→ R^N/〜の切断を選んだことになる.
任意の実数列s に対し，袋をごそごそさぐってそいつと同値な(同じファイパーの)代表r= r(s)をちょうど一つ取り出せる訳だ.
sとrとがそこから先ずっと一致する番号をsの決定番号と呼び，d = d(s)と記す.
何らかの事情によりdが知らされていなくても，あるD>=d についてsD+1， sD+2，sD+3，・・・
が知らされたとするならば，それだけの情報で既に r = r(s)は取り出せ，したがってd= d(s)も決まり，
結局sd (実はsd，sd+1，・・・，sD ごっそり)が決められる
(引用終り)
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
平成29年度(第39回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，平成29年7月31日〜8月3日
超準解析入門 −超実数と無限大の数学− 磯野優介数学入門公開講座
(抜粋)
P15-16
定理 4.7. 実数列 (an)n と実数 a ∈ R に対して，limn→∞ an = a である事の必要十分条件は
どんな無限大超自然数 ω に対しても aω =〜 a となる事である．
注意 4.8. この定理が証明されれば，最初から limn→∞ an = a の定義を，aω =〜 a が全ての
無限大超自然数 ω に対して成立する事としてもよい事になる．これは「数列の ∞ 番目がい
つも同じ数」という意味であり，より直感的な収束の定義である．
(引用終り)

4つには、時枝氏自身が、あの記事の前半の戦略が不成立であることを
しっかりと認識しないで、
そこをぼかして書いてしまったこと

以上

348(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/02/12(水)20:49 ID:8axgfTbD(17/19) AAS
>>344-345
どうも。スレ主です。
レスありがとうございます（＾＾

366: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/02/12(水)21:33 ID:8axgfTbD(18/19) AAS
メモ
外部ﾘﾝｸ:www.nikkei.com
テスラ分解　EVの「頭脳」、トヨタやVWを6年先行 2020/2/12 日経
(抜粋)
米テスラの技術力はどれほどのものか――。実力を確かめるため、日経BPのプロジェクトチームはテスラ初の本格量産車「モデル3」を購入して分解した。内部から飛び出した最大の驚きは、自動運転だけでなく車両全体を制御する統合ECU（電子制御ユニット）だ。3キログラムに満たない「頭脳」はテスラの強さの源泉となると同時に、自動車部品のサプライチェーン（供給網）をがらりと変える影響力を持つ。

「うちの会社にはできない」。ある国内自動車メーカーの技術者が、テスラの車載コンピューターを見て白旗を揚げた。

テスラは量産中の電気自動車（EV）である「モデル3」や「モデルS」などに、「HW3.0」と呼ぶ車載コンピューターを搭載する。内蔵する半導体を自社開発し、自動運転とインフォテイメントなどの機能を統合制御するECUの役割を一任した。

モデル3が搭載する統合ECU「HW3.0」。2枚の基板を搭載する。1枚は独自開発した人工知能（AI）チップを実装する自動運転用で、もう1枚はインフォテイメントシステムなどを制御するMCU（メディア・コントロール・ユニット）。基板間に水冷ヒートシンクを配置した（撮影:日経Automotive）

車載電子プラットフォーム（基盤）の中核に高性能なコンピューターを据えるアーキテクチャーは「中央集中型」と呼ばれる。自動車業界の関係者は異口同音に「実用化は2025年以降」と説明してきた。

一方のテスラがHW3.0を導入したのは19年春。他社を6年以上も先行したことになる。テスラは自動運転システムの進化に合わせて車載電子基盤を刷新。14年9月に第1世代を投入して以降は、2〜3年という極めて短いサイクルで開発を進めている。

テスラは2〜3年ごとに自動運転システムを強化している（図:日経Automotiveが作成）

圧倒的なスピードで構築したテスラの中央集中型の車載電子基盤は、他の自動車メーカーのみならず、業界全体にとっての脅威になる。長い歳月をかけて積み上げてきた既存の部品サプライチェーンを崩壊させる可能性を秘めるからだ。

367: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/02/12(水)21:35 ID:8axgfTbD(19/19) AAS
>>358
どうも。スレ主です。
ありがとうございます（＾＾；

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