[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論2 (1002ﾚｽ)
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725(2): That's done 2020/03/27(金)15:45 ID:asHKGG7T(30/35) AAS
無限列ｘとその同値類の代表元ｒ（ｘ）を比較した場合
任意の自然数ｎについて「第ｎ項が不一致」って事象は、
任意有限個では独立だけど、無限個で考えたら独立ではないね
なぜなら自然数の無限部分集合について、その要素となるｎ全部で
「第ｎ項が不一致」となることはないから
（不一致となる項は有限個）
33(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/22(日)08:06 ID:jNutOcAm(1/6) AAS
>>24
>Ωが次の性質を持つ限りZFCと両立することはできません。
>・Fを
>x∈F⇔∃x1∋x2∋‥‥∋xn, x1=Ω, xn=x
>によって定められる集合とするときFの任意の要素はシングルトンか空集合。
>・Ωは有限Zermelo ordinal numberではない。
（前スレ>>961より）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
自然数
(抜粋)
<ノイマン構成>
・任意の集合 a の後者は a と {a} の合併集合として定義される。
suc (a):=a∪{a}
このとき、それぞれの自然数は、その数より小さい自然数全てを要素とする数の集合、となる。
<Zermelo構成>（前スレ>>725より）
他にも自然数の定義は無限にできる。これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。
例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
0 := {}
1 := {0} = {{}}
2 := {1} = {{{}}}
3 := {2} = {{{{}}}}
(引用終り)
なので、<Zermelo構成>も<ノイマン構成>も
∈-数列
0∈1∈2∈3・・・∈n∈・・・→ω
（"→ω"の意味は、ωに向けてずっと続くってことね）
（なお、ωは、超限順序数で、いわゆる”有限”ではない）
で、「0∈1∈2∈3・・・∈n∈・・・→ω」は、<Zermelo構成>も<ノイマン構成>も全く同じ
だから、この<Zermelo構成>を否定することはできません
（∵<Zermelo構成>を否定すると、<ノイマン構成>も同様に否定されるから）
但し、
<ノイマン構成>においては、ω＝N（自然数の集合）なので
n∈ω（＝N）は、可
というか
<ノイマン構成>なら、任意のm<nで、m∈n成立
（∵<ノイマン構成>では、後者関数の定義が、それ以前の全てを要素からなる集合だから（前スレ966））
一方、<Zermelo構成>においては、もともと、任意のm<nで、m∈n不成立
（∵<Zermelo構成>では、後者関数の定義が、異なるため）
だから、もともと、”n not∈ω（=x1=Ωかな）”なのです（nは、任意の自然数）
これは、後者関数の定義の問題なのです
（なので、<Zermelo構成>もZFC内で成立します）
つづく
64(2): 2019/12/25(水)12:17 ID:xYwdBxRF(2/3) AAS
>>63 補足
１．確かに、”公理的”に、自然数Nから、続いて順序数ωを定義していくときに、ノイマンの後者関数が一番すっきりしている
２．だが、後者関数の選び方には、他の流儀もあるという
３．順序数ωは、本質的に極限順序数であり、極限で定義することは、おかしなことはなにもない（>>63）
４．いま問題になっていることは、このように、ノイマンの後者関数以外を使った場合に、極限でωを定義したときに、正則性公理に反するかどうかだ
５．それは「反しない」というのが私の主張ですよ
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
自然数
(抜粋)
<ノイマン構成>
・任意の集合 a の後者は a と {a} の合併集合として定義される。
suc (a):=a∪{a}
このとき、それぞれの自然数は、その数より小さい自然数全てを要素とする数の集合、となる。
<Zermelo構成>（前スレ>>725より）
他にも自然数の定義は無限にできる。これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。
例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
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