[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論2 (1002ﾚｽ)
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656(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/03/26(木)12:10 ID:Toc1jVc8(1/8) AAS
>>647
さて
「コーシー列を、理解し 存在を認めた」（>>652）ところから、出発しよう
そして、>>642の課題
１）決定番号∞
と
２）「.999…00…が.000…00…と同値（つまり、 .999…00… 〜 .000…00…）」
を略証しよう。
（厳密な証明は書かない。長くなり、視認性が悪くなるから。行間は各人埋めること。質問は可とする）
１．決定番号∞について
・この∞の意味は、言い換えれば、「決定番号d上限はない」あるいは「決定番号dは全ての自然数を渡る」ということ
（下記、レーヴェンハイム?スコーレムの定理「いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならない」ご参照）
・さて√2に収束するコーシー列C:c1,c2,・・が考えられる
例えば下記のテーラー展開の式で初項から順番にｎ項までの和をcnとすれば良い
さて、このコーシー列Cは、√2に収束するが有限で終えることはできない
∵有限で終えれば、cnは有理数であり、一方√2は無理数だから
・テーラー展開の式では、有理数列によるコーシー列だが、有限小数から成るコーシー列も考えられる
円周率πが分かり易いが、
3.14159・・の小数部分を一桁ずつ増やす
コーシー列C:c1=.1,c2=.14,c3=.141・・
このコーシー列もまた、円周率πに収束するが有限で終えることはできない。理由は、上記に同じ
・つまり、「決定番号は有限」で留まることはありえず、その否定としての ∞ になる
つづく
657(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/03/26(木)12:13 ID:Toc1jVc8(2/8) AAS
>>656
つづき
２．「.999…00…が.000…00…と同値（つまり、 .999…00… 〜 .000…00…）」について
・まず、「コーシー列を、理解し 存在を認めた」として、√2とか円周率πが無限桁の小数だということは良いだろう（上記）
・一番簡単なのは、有限小数を ある小数第ｎ位以降が全て”0”の無限小数と見ることである
（この視点は、多項式が ある項以降全て”0”の形式的冪級数と見る視点と同じ（下記））
・そこで、.999…で 9がひとつずつ増えるコーシー列C：c1=.9,c2=.99,c3=.999,・・・を考える
このコーシー列Cが、整数”1”を表す（収束する）ことは、実数の構成から自明だ
そして、コーシー列Cは 有限で終わってはならないこともまた、上記 √2とか円周率πと同様だ
・そこで、任意の有限 cn＝0.99・・9(小数第ｎ位まで9)が、無限 cn＝0.99・・9 00・・とみなせることも、上記の通り
この数列cn＝0.99・・9 00・・と、数列 000…00… とは、時枝の定義のしっぽが一致し、決定番号dはd=n+1となる
決定番号dが、上記1同様、自然数N全体を渡ることは自明
QED
つづく
670(2): 2020/03/26(木)19:27 ID:w9QXoHzC(1/3) AAS
>>656
>１．決定番号∞について
>・この∞の意味は、言い換えれば、「決定番号d上限はない」あるいは「決定番号dは全ての自然数を渡る」ということ
バカの言ってることが正しいと仮定。
「決定番号dは全ての自然数を渡る」より d∈N
決定番号d=∞ より ¬(d∈N)
矛盾が導かれたので仮定は偽。
数学のすの字も解ってないことを天下に晒して頂き本当に有難うございました。
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