[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論2 (1002ﾚｽ)
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642(5): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/03/25(水)07:52 ID:wzyKzdmN(1/4) AAS
>>641
良い質問ですね〜（＾＾
(引用開始)
質問
箱の中身を0〜9の10個の数に制限する
このとき、無限列は10進無限小数だと考えることができる
.000…の同値類の代表元を.000…とする
このとき、決定番号∞となる小数を一つ上げよ
(引用終り)
良い質問ですね〜
＜答え＞
・具体的に、例を挙げることはできない
∵実数R自身が、Qの完備化（例えば コーシー列による定義）からなる存在だから
・しかし、.000…の同値類の中に、決定番号∞となる小数（同値類の元）が存在すると考えるべきである
例：0に収束するコーシー列、これをC:c1,c2,・・ として、 C≠.000… (＊)なるコーシー列Cを考えることができる
（ (＊) この≠の意味は、0に収束するが、Cは .000… と異なるコーシー列であることを示す）
∵コーシー列とは、そのようなものだから。そして、それは、具体的な小数として書き下すことはできない存在なのだ
(引用開始)
例えば
.000…は決定番号１
.900…は決定番号２
.990…は決定番号３
…
としてこの数列の極限
.999…が決定番号∞
なのか？
(引用終り)
＜答え＞
Yes
(引用開始)
もし、そうだとして、.999…が.000…と同値だとする証明はあるのか？
(引用終り)
＜答え＞
・まず、修正：「.999…00…が.000…00…と同値（つまり、 .999…00… 〜 .000…00…）」だな（＾＾；
・この証明はあるが、厳密には ”実数Rとは？、 Qの完備化である！”に、遡ってしなければならない
・もし、大学数学科レベルの人に対してなら、「コーシー列を考えれば自明」の一言で証明は終わる！
QED
（参考）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
実数
(抜粋)
コーシー列を用いた構成
実数の構成は有理数の空間 Q の完備化とよばれる手続きによる方法が一般的である。
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
コーシー列
(抜粋)
実数の構成
実数の構成法の一つに、完備化と呼ばれる有理コーシー列から実数を定めるものがある。
(引用終り)
以上
643(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/03/25(水)13:46 ID:YzGeEn4T(1/3) AAS
>>642
コーシー列 補足
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www2.math.kyushu-u.ac.jp
実数の構成に関するノート? 原隆 （九大）
Last updated: Juy 10, 2007
(抜粋)
これは僕の微積の講義ノートの付録として，また「数学 II」の補助ノートとして，実数論の初歩を書いたもの
です．具体的には「有理数の切断」としての実数の構成を 2 章で，また「コーシー列の同値類」としての実数の構
成を 3 章で論じた後，両者が基本的に同値なものである事を 4 章で述べました．そのあと，更に舞台を拡げて，実
数の公理を満たす体は本質的に一つに決まることを簡単に 5 章で説明してあります．
外部ﾘﾝｸ[html]:www2.math.kyushu-u.ac.jp
微分積分学・同演習A (数学科，SI-4クラス)
実数についてのプリントの書きかけ．2007.07.10版．（これが上記 PDFです）
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www2.math.kyushu-u.ac.jp
微分積分学・同演習 B 数学科 （原 九大）
A 微積 B への補足（この章は完全におまけ）
(抜粋)
A.1 コーシー列についての補足
コーシー列についてもう少し知りたい，との要望があり，また数学概論ではコーシー列をうまく避けているよう
なので，少し補足しておきましょう．
コーシー列の定義は講義で触れた通り，またある数列がコーシー列であることと，その数列が収束列であること
は同値です（これも講義でやりました）．この節ではいくつかの具体例を考えます．
A.2.5 最後に：このような順序交換はなぜ大事なのか？
「数学概論」でも強調されていると思うが，我々が扱わなければならない関数は非常に多種多様であり，大抵の
ものは何らかの級数としてしか表せないことが多い．そのような訳のわからない関数に対しては，当然，その微分
や積分なども良くわからない．
良くわからないけども，級数の形で書けている関数に対しては，級数の各項を微分・積分する事で形式的に微分
や積分を行う事が可能だ．
（参考）
外部ﾘﾝｸ[html]:www2.math.kyushu-u.ac.jp
原隆 九大
外部ﾘﾝｸ[html]:www2.math.kyushu-u.ac.jp
微分積分学・同演習B (数学科)
08/03/05
645: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/03/25(水)17:37 ID:YzGeEn4T(3/3) AAS
>>644
＞（コーシー列も分からんようでは、議論にならん。どっかの素人さんと変わらん。いくら議論しても無駄。いい加減悟れよ、おいｗ（＾＾； ）
＞澤野嘉宏 首都大
＞実数とはいったいなんであろうか？有理数という概念は既知の状態からはじめたい．
こうやって、コーシー列の資料を補足で貼っている意味が分からないかも
「実数とは、コーシー列と」いう視点に立つとき
「整数でさえ、コーシー列」だという 高い視点に立つことができる
そして、>>642の ゼロ(0)さえ 「0=.000…」で、コーシー列だという視点に立つことができる
ってことなのだが
ま、コーシー列が理解できていないと、分からないだろうな
そして、議論がかみ合わないだろうな
646(1): 2020/03/25(水)19:34 ID:hW5LBiGq(2/2) AAS
>>642
＞＞.999…が決定番号∞なのか？
＞Yes
本当？
まず、.999…はいかなるn∈Nについても
あるn<=mが存在して、m番目の桁が0でない
これは、.999…が、.000…と同値でないことを
示していると考えられるが如何？
＞＞もし、そうだとして、.999…が.000…と同値だとする証明はあるのか？
＞・まず、修正：「.999…00…が.000…00…と同値（つまり、 .999…00… 〜 .000…00…）」だな
その修正は認められない
無限列は{0,…,9}＾Nの要素、つまり、Nから{0,…9}への関数
つまり、どの桁も自然数で番号づけられている
追加した「00…」の0の開始位置も番号づけられなければならない
したがってその場合決定番号は自然数となり、∞とはならない
＞・この証明はあるが、
ではその証明は誤りなのでまっさきに修正しましょう
＞厳密には ”実数Rとは？、 Qの完備化である！”に、遡ってしなければならない
無限列として無限小数を持ち出しただけなのでRの位相構造は無関係
つまり、例えば、無限列全体がカントール集合（完全不連結）でも問題ない
＞・もし、大学数学科レベルの人に対してなら、「コーシー列を考えれば自明」の一言で証明は終わる！
上述の理由により、コーシー列を考える必要はない
大学数学科レベルの人なら、必ずこういう
「決定番号∞(最後の自然数）ということはない
なぜなら自然数の定義に反するから」
656(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/03/26(木)12:10 ID:Toc1jVc8(1/8) AAS
>>647
さて
「コーシー列を、理解し 存在を認めた」（>>652）ところから、出発しよう
そして、>>642の課題
１）決定番号∞
と
２）「.999…00…が.000…00…と同値（つまり、 .999…00… 〜 .000…00…）」
を略証しよう。
（厳密な証明は書かない。長くなり、視認性が悪くなるから。行間は各人埋めること。質問は可とする）
１．決定番号∞について
・この∞の意味は、言い換えれば、「決定番号d上限はない」あるいは「決定番号dは全ての自然数を渡る」ということ
（下記、レーヴェンハイム?スコーレムの定理「いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならない」ご参照）
・さて√2に収束するコーシー列C:c1,c2,・・が考えられる
例えば下記のテーラー展開の式で初項から順番にｎ項までの和をcnとすれば良い
さて、このコーシー列Cは、√2に収束するが有限で終えることはできない
∵有限で終えれば、cnは有理数であり、一方√2は無理数だから
・テーラー展開の式では、有理数列によるコーシー列だが、有限小数から成るコーシー列も考えられる
円周率πが分かり易いが、
3.14159・・の小数部分を一桁ずつ増やす
コーシー列C:c1=.1,c2=.14,c3=.141・・
このコーシー列もまた、円周率πに収束するが有限で終えることはできない。理由は、上記に同じ
・つまり、「決定番号は有限」で留まることはありえず、その否定としての ∞ になる
つづく
666(1): 2020/03/26(木)17:42 ID:/vnWknlA(5/11) AAS
>>664
そもそも、>>642の「まず修正」が見当違い
.999…は全ての桁の値が9
.999…∈{0,…,9}^Nは、桁の位置が全て自然数で表される
.999が実数として1に等しいというのは
「箱入り無数目」とは無関係
無限列としては等しくないから
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