[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論2 (1002ﾚｽ)
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201(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/01/02(木)09:15 ID:YLjNnjPy(1/11) AAS
>>197
すでに>>152-155に書いたように
１）外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ペアノの公理
任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する（suc(a) は a + 1 の "意味"）。
ペアノの公理は以下の図にまとめることができる:
x→f(x)→f(f(x))→f(f(f(x)))→・・・
ここで、各f(x),f(f(x)),f(f(f(x))),...は明確に区別可能。
存在と一意性
集合論における標準的な構成によって、ペアノシステムの条件を満たす集合が存在することを示せる。
任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する（suc(a) は a + 1 の "意味"）。
一階述語論理で定式化されたペアノの公理は、無数の超準モデルを持つ。（レーヴェンハイム＝スコーレムの定理）
二階述語論理によって定式化することで、ペアノシステムを同型の違いを除いて一意に定めることができる[2]。
(引用終り)
２）外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
自然数
（Zermelo構成）
他にも自然数の定義は無限にできる。これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。
例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
0 := {}
1 := {0} = {{}}
2 := {1} = {{{}}}
3 := {2} = {{{{}}}}
と非常に単純な自然数になる。
３）外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
極限順序数
(抜粋)
任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω
極限順序数は他にもいろいろなやり方で定義できる:
・順序数全体の成す類において順序位相（英語版）に関する極限点 (ほかの順序数は孤立点となる)。
よって、Zermelo構成でのω、つまりは空集合を出発点として
ペアノシステムにより、シングルトンのωが存在し、これはシングルトンの可算無限重の集合と解釈できるってこと
４）こうやって構成した ペアノシステムによるシングルトンのωが、正則性公理に反するはずもない
なお、まとめると
Zermeloの後者関数 「0 := {}, suc(a) := {a} 」
の
順序位相（英語版）に関する極限点として
ωが定義される
それだけのこと
203: 2020/01/02(木)09:34 ID:lJNP8tAT(3/23) AAS
>>201
>Zermeloの後者関数 「0 := {}, suc(a) := {a} 」の
>順序位相（英語版）に関する極限点としてωが定義される
Nの順序位相なら、Nはノンコンパクトだから
0,1,2,… はNで収束しない
ザンネンデシタｗｗｗｗｗｗｗ
204: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/01/02(木)09:40 ID:YLjNnjPy(2/11) AAS
>>201 補足
＞ ペアノの公理
＞任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する（suc(a) は a + 1 の "意味"）。
さて
0 := {}
として
「suc(a) は a + 1 」を生かして
suc(a) ：＝{{a},0}と
定義してみよう
この場合、1以上の各集合の要素の数は2だ
1 :={{0},0}
2 :={{1},0}
3 :={{2},0}
・
・
こうして構成された
後者関数 「0 := {}, suc(a) :={{a},0}
の
順序位相（英語版）に関する極限点として
ωが定義される
それだけのこと
なお、>>153より ノイマン構成
後者関数 「0 := {}, suc(a) :=a∪{a}
の
順序位相（英語版）に関する極限点として
ωが定義される
それだけのこと
当然、上記各ωは異なる
（∵ 定義の後者関数が異なるのだから、各ωが異なるのは当然でしょ（＾＾；）
235(1): 2020/01/02(木)16:54 ID:G/YeCJ4m(1/8) AAS
>>201
>４）こうやって構成した ペアノシステムによるシングルトンのωが、正則性公理に反するはずもない
妄想乙
>Zermeloの後者関数 「0 := {}, suc(a) := {a} 」
>の
>順序位相（英語版）に関する極限点として
>ωが定義される
>それだけのこと
バカは他人も自分と同じくらいバカだと思いたいようだが、それも妄想
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