[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論2 (1002ﾚｽ)
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152(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/01/01(水)09:07 ID:G5rtMfGn(1/22) AAS
>>116
ここにもどる、正月ひまなのでｗ（＾＾
(引用開始)
おサル
問題をわざと、論点そらししているな
いま問題にしていることは
後者関数suc(a)で
ｎ→∞の極限
すなわち 極限 lim ｎ→∞ suc(a) が正則性公理に反する
というのがおサルの主張
そんなことはないというのが、
オレだよおれｗ（＾＾；
(引用終り)
いま分かっていることを整理しよう
（参考）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ペアノの公理
(抜粋)
任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する（suc(a) は a + 1 の "意味"）。
ペアノの公理は以下の図にまとめることができる:
x→f(x)→f(f(x))→f(f(f(x)))→・・・
ここで、各f(x),f(f(x)),f(f(f(x))),...は明確に区別可能。
存在と一意性
集合論における標準的な構成によって、ペアノシステムの条件を満たす集合が存在することを示せる。
まず、後者関数を定義する; 任意の集合 a に対してその後者を suc(a) := a ∪ {a} と定義する。
集合 A が後者関数に関して閉じているとき、つまり 「a が A の元であるならば suc(a) も A の元である」が成り立つときに、 A は帰納的集合であるという。
ここで、次のように定義する。
・0:=Φ={}
・N:= 0 を含むあらゆる帰納的集合の共通部分
・suc := 後者関数のNへの制限
この集合 N を自然数全体の集合といい、これは時々（特に順序数に関する文脈で）ギリシャ文字の ω と表記される。
任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する（suc(a) は a + 1 の "意味"）。
一階述語論理で定式化されたペアノの公理は、無数の超準モデルを持つ。（レーヴェンハイム＝スコーレムの定理）
二階述語論理によって定式化することで、ペアノシステムを同型の違いを除いて一意に定めることができる[2]。
(引用終り)
つづく
153(5): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/01/01(水)09:07 ID:G5rtMfGn(2/22) AAS
>>152
つづき
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
自然数
(抜粋)
（ノイマン構成）
・任意の集合 a の後者は a と {a} の合併集合として定義される。
suc (a):=a∪{a}
・自然数は「後者関数について閉じていて、0 を含む M の部分集合の共通部分」として定義される。
無限集合の公理により集合 M が存在することが分かり、このように定義された集合がペアノの公理を満たすことが示される。 このとき、それぞれの自然数は、その数より小さい自然数全てを要素とする数の集合、となる。
（Zermelo構成）
以上の構成は、自然数を表すのに有用で便利そうな定義を選んだひとつの結果であり、他にも自然数の定義は無限にできる。これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。
例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
0 := {}
1 := {0} = {{}}
2 := {1} = {{{}}}
3 := {2} = {{{{}}}}
と非常に単純な自然数になる。
(引用終り)
以上
154(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/01/01(水)09:45 ID:G5rtMfGn(3/22) AAS
>>153 つづき
さて
1.無限公理によってできる上記無限集合Mには、N⊂Mで自然数Nを含むけれども、Nを超える余分の元が含まれている
（∵”自然数は「後者関数について閉じていて、0 を含む M の部分集合の共通部分」として定義される”とあるのだから、Nを超える余分の元が存在するということ）
２．結論を先取りしていえば、ノイマン構成のN=ωは、極限順序数（下記ご参照）であり、
”順序数全体の成す類において順序位相（英語版）に関する極限点 (ほかの順序数は孤立点となる)”である
３．上記ペアノの公理の図 （ある後者関数での
x→f(x)→f(f(x))→f(f(f(x)))→・・・→ω→f(ω)→f(f(ω))・・・
つまり、この図の順序位相（英語版）に関する極限点がω
この極限点ω以降が、１に記述のNを超える余分の元だ
４．Zermelo構成でも、
Φ→{Φ}→{{Φ}}→{{{Φ}}}→・・・→ω→{ω}→{{ω}}・・・
Zermeloの場合、３で x=Φ、 f(x)=suc(x)={x} ってことな
勿論、ωは後者関数の取り方に依存する
が、>>152の「存在と一意性」にあるように
”二階述語論理によって定式化することで、ペアノシステムを同型の違いを除いて一意に定めることができる”ということ
５．よって、Zermelo構成でのω、つまりは空集合を出発点として
ペアノシステムにより、シングルトンのωが存在し、これはシングルトンの可算無限重の集合と解釈できるってこと
QED
（参考）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
極限順序数
(抜粋)
任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω
極限順序数は他にもいろいろなやり方で定義できる:
・順序数全体の成す類において順序位相（英語版）に関する極限点 (ほかの順序数は孤立点となる)。
201(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/01/02(木)09:15 ID:YLjNnjPy(1/11) AAS
>>197
すでに>>152-155に書いたように
１）外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ペアノの公理
任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する（suc(a) は a + 1 の "意味"）。
ペアノの公理は以下の図にまとめることができる:
x→f(x)→f(f(x))→f(f(f(x)))→・・・
ここで、各f(x),f(f(x)),f(f(f(x))),...は明確に区別可能。
存在と一意性
集合論における標準的な構成によって、ペアノシステムの条件を満たす集合が存在することを示せる。
任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する（suc(a) は a + 1 の "意味"）。
一階述語論理で定式化されたペアノの公理は、無数の超準モデルを持つ。（レーヴェンハイム＝スコーレムの定理）
二階述語論理によって定式化することで、ペアノシステムを同型の違いを除いて一意に定めることができる[2]。
(引用終り)
２）外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
自然数
（Zermelo構成）
他にも自然数の定義は無限にできる。これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。
例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
0 := {}
1 := {0} = {{}}
2 := {1} = {{{}}}
3 := {2} = {{{{}}}}
と非常に単純な自然数になる。
３）外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
極限順序数
(抜粋)
任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω
極限順序数は他にもいろいろなやり方で定義できる:
・順序数全体の成す類において順序位相（英語版）に関する極限点 (ほかの順序数は孤立点となる)。
よって、Zermelo構成でのω、つまりは空集合を出発点として
ペアノシステムにより、シングルトンのωが存在し、これはシングルトンの可算無限重の集合と解釈できるってこと
４）こうやって構成した ペアノシステムによるシングルトンのωが、正則性公理に反するはずもない
なお、まとめると
Zermeloの後者関数 「0 := {}, suc(a) := {a} 」
の
順序位相（英語版）に関する極限点として
ωが定義される
それだけのこと
255(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/01/03(金)10:49 ID:ivt0JCXh(5/8) AAS
>>253
おつです
岡潔（下記）
制限をつけていくのではなく、むしろ逆にもっと理想化した難しい問題を設定して、それを解くべきであると言った
これにならって、Neumann流、Zermelo流に拘らずに、もっと一般に後者関数を考えるべき
そうすれば、自然に後者関数のn→∞の極限の概念に到達するだろう
その後で、個別の後者関数に応じて、極限によって得られる集合がどのようなものかを考えるべし（＾＾；
（下記、ペアノの公理もご参照）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
広中平祐
(抜粋)
特異点解消問題について、1963年に日本数学会で講演した。その内容は、一般的に考えるのでは問題があまりに難しいから、様々な制限条件を付けた形でまずは研究しようという提案であった。
その時、岡潔が立ち上がり、問題を解くためには、広中が提案したように制限をつけていくのではなく、むしろ逆にもっと理想化した難しい問題を設定して、それを解くべきであると言った。
その後、広中は制限を外して理想化する形で解き、フィールズ賞の受賞業績となる[4]。
（>>152より）
（参考）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ペアノの公理
(抜粋)
任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する（suc(a) は a + 1 の "意味"）。
存在と一意性
集合論における標準的な構成によって、ペアノシステムの条件を満たす集合が存在することを示せる。
まず、後者関数を定義する; 任意の集合 a に対してその後者を suc(a) := a ∪ {a} と定義する。
集合 A が後者関数に関して閉じているとき、つまり 「a が A の元であるならば suc(a) も A の元である」が成り立つときに、 A は帰納的集合であるという。
任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する（suc(a) は a + 1 の "意味"）。
一階述語論理で定式化されたペアノの公理は、無数の超準モデルを持つ。（レーヴェンハイム＝スコーレムの定理）
二階述語論理によって定式化することで、ペアノシステムを同型の違いを除いて一意に定めることができる[2]。
(引用終り)
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