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現代数学の系譜 カントル 超限集合論2 (1002レス)
現代数学の系譜 カントル 超限集合論2 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/
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310: 132人目の素数さん [sage] 2020/02/22(土) 15:44:22.35 ID:0iFmeQIA >>305の Case3) は取り消して、その訂正版。 Case3):平面 R^2 上の半径1の円周Cで囲まれた円の外側に有理点 A(x/z,y/z) が存在するとき。 このとき、確かに平面 R^2 上の円周Cで囲まれた円の外側に有理点 A(x/z,y/z) は存在し、(x/z)^2+(y/z)^2>1 を満たす。 また、3つの正整数x、y、zについて、1≦x<z かつ 1≦y<z だから、x^2+y^2<2z^2 から (x/z)^2+(y/z)^2<2 を得る。 故に、或る 1<s<√2 なる実数sが存在して、(x/z)^2+(y/z)^2=s^2 であり、( x/(sz) )^2+( y/(sz) )^2=1 となる。 平面 R^2 上において、3点 O(0,0)、B(x/(sz),y/(sz))、A(x/z,y/z) はその順に一直線上に並んでいるから、 θの定義から cos(θ)=x/(sz) かつ sin(θ)=y/(sz) かつ sz=√(x^2+y^2) であり、s・cos(θ)=x/z、s・sin(θ)=y/z。 仮定から n≧3 であり、s^n・cos^n(θ)=(x/z)^n、s^n・sin^n(θ)=(y/z)^n。 成り立つと仮定した等式から、(x/z)^n+(y/z)^n=1 だから、s^n・(cos^n(θ)+sin^n(θ))=1、 故に、X=cos^n(θ)+sin^n(θ) とすれば、s^n・X=1 となる。 ところで、平面 R^2 上の半径1の円周C上には、すべての a^2+b^2=1、0≦|a|≦1、0≦|b|≦1 を何れも満たすような点 (a,b) が存在する。 逆に、a^2+b^2=1、0≦|a|≦1、0≦|b|≦1 を何れも満たすような点 (a,b) は、すべて平面 R^2 上の半径1の円周C上に存在する。 また、mに対して3つの正の実数 r、s'、t が対応して r^m+(s')^m=t^m となるような2以上の整数mが存在するならば、mは一意に決まる。 よって、mに対して3つの正の実数 r、s'、t が対応して (r/t)^m+(s'/t)^m=1 となるような2以上の整数mが存在するならば、mは一意に m=2 に決まる。 仮定から、x、y、z は正の実数であり、nは n≧2 を満たすから、s^n・X=(x/z)^n+(y/z)^n=1 から、nが取り得る値は n=2 となる。 しかし、n=2 は n≧3 と仮定していることに反し、矛盾する。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/310
311: 132人目の素数さん [sage] 2020/02/22(土) 16:10:57.90 ID:0iFmeQIA >>310の訂正: >また、mに対して3つの正の実数 r、s'、t が対応して r^m+(s')^m=t^m となるような2以上の整数mが存在するならば、mは一意に決まる。 >よって、mに対して3つの正の実数 r、s'、t が対応して (r/t)^m+(s'/t)^m=1 となるような2以上の整数mが存在するならば、mは一意に m=2 に決まる。 この2行は >また、何れも或る3つの正の実数 r、s'、t が存在して r^m+(s')^m=t^m となるような2以上の整数mが存在するならば、mは一意に決まる。 >よって、何れも或る3つの正の実数 r、s'、t が存在して (r/t)^m+(s'/t)^m=1 となるような2以上の整数mが存在するならば、mは一意に m=2 に決まる。 に訂正。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/311
313: 132人目の素数さん [sage] 2020/02/22(土) 17:00:18.47 ID:0iFmeQIA >>310-311は一般的な証明に使えるような論法になっているから、多分間違いでしょう。 間違いと意識して>>310-311を書いたつもりはないが、>>310-311にはどこかに間違いがある筈。 それにしても、証明の Case3) ではスムーズに矛盾を導けない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/313
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