[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜　カントル　超限集合論2 (1002ﾚｽ)

現代数学の系譜　カントル　超限集合論2 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/

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153: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2020/01/01(水) 09:07:56.36 ID:G5rtMfGn >>152 つづき https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0 自然数 (抜粋) （ノイマン構成） ・任意の集合 a の後者は a と {a} の合併集合として定義される。 suc (a):=a∪{a} ・自然数は「後者関数について閉じていて、0 を含む M の部分集合の共通部分」として定義される。 無限集合の公理により集合 M が存在することが分かり、このように定義された集合がペアノの公理を満たすことが示される。 このとき、それぞれの自然数は、その数より小さい自然数全てを要素とする数の集合、となる。 （Zermelo構成） 以上の構成は、自然数を表すのに有用で便利そうな定義を選んだひとつの結果であり、他にも自然数の定義は無限にできる。これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。 例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、 0 := {} 1 := {0} = {{}} 2 := {1} = {{{}}} 3 := {2} = {{{{}}}} と非常に単純な自然数になる。 (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/153

154: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2020/01/01(水) 09:45:41.33 ID:G5rtMfGn >>153 つづき さて 1.無限公理によってできる上記無限集合Mには、N⊂Mで自然数Nを含むけれども、Nを超える余分の元が含まれている 　（∵”自然数は「後者関数について閉じていて、0 を含む M の部分集合の共通部分」として定義される”とあるのだから、Nを超える余分の元が存在するということ） ２．結論を先取りしていえば、ノイマン構成のN=ωは、極限順序数（下記ご参照）であり、 　”順序数全体の成す類において順序位相（英語版）に関する極限点 (ほかの順序数は孤立点となる)”である ３．上記ペアノの公理の図 （ある後者関数での 　x→f(x)→f(f(x))→f(f(f(x)))→・・・→ω→f(ω)→f(f(ω))・・・ 　つまり、この図の順序位相（英語版）に関する極限点がω 　この極限点ω以降が、１に記述のNを超える余分の元だ ４．Zermelo構成でも、 　Φ→{Φ}→{{Φ}}→{{{Φ}}}→・・・→ω→{ω}→{{ω}}・・・ 　Zermeloの場合、３で x=Φ、 f(x)=suc(x)={x} ってことな 　勿論、ωは後者関数の取り方に依存する 　が、>>152の「存在と一意性」にあるように 　”二階述語論理によって定式化することで、ペアノシステムを同型の違いを除いて一意に定めることができる”ということ ５．よって、Zermelo構成でのω、つまりは空集合を出発点として 　ペアノシステムにより、シングルトンのωが存在し、これはシングルトンの可算無限重の集合と解釈できるってこと QED （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0 極限順序数 (抜粋) 任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω 極限順序数は他にもいろいろなやり方で定義できる: ・順序数全体の成す類において順序位相（英語版）に関する極限点 (ほかの順序数は孤立点となる)。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/154

164: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2020/01/01(水) 10:50:05.57 ID:G5rtMfGn >>153 補足 （ノイマン構成）に倣って、 後者関数suc (a)に対して、 それまでに出来た集合の和 ∪a との対応を考えよう 番号　　　　∪a 0:=Φ　　 1:={Φ}　　　{0} 2:={{Φ}}　　{0,1} 　・ 　・ n:={・・{Φ}・・}　{0,1・・n-1} 　・ 　・ 　↓（極限 lim n→∞ ） ω:=・・・{Φ}・・・　{0,1・・n-1・・}（＝：N（自然数）*)） 注*) １． {0,1・・n-1・・}＝：N（自然数）は、極限順序数ωより前の全ての有限順序数の集合である ２．ノイマン構成では、後者関数の定義が、「a以前に出来た全ての集合」なので 　　特に、ω＝Nになる ３．しかし、ノイマン構成以外の後者関数の定義においては、そうはならない！（＾＾ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/164

201: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2020/01/02(木) 09:15:23.37 ID:YLjNnjPy >>197 すでに>>152-155に書いたように １）https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86 　ペアノの公理 任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する（suc(a) は a + 1 の "意味"）。 ペアノの公理は以下の図にまとめることができる: x→f(x)→f(f(x))→f(f(f(x)))→・・・ ここで、各f(x),f(f(x)),f(f(f(x))),...は明確に区別可能。 存在と一意性 集合論における標準的な構成によって、ペアノシステムの条件を満たす集合が存在することを示せる。 任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する（suc(a) は a + 1 の "意味"）。 一階述語論理で定式化されたペアノの公理は、無数の超準モデルを持つ。（レーヴェンハイム＝スコーレムの定理） 二階述語論理によって定式化することで、ペアノシステムを同型の違いを除いて一意に定めることができる[2]。 (引用終り) ２）https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0 自然数 （Zermelo構成） 他にも自然数の定義は無限にできる。これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。 例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、 0 := {} 1 := {0} = {{}} 2 := {1} = {{{}}} 3 := {2} = {{{{}}}} と非常に単純な自然数になる。 ３）https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0 極限順序数 (抜粋) 任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω 極限順序数は他にもいろいろなやり方で定義できる: ・順序数全体の成す類において順序位相（英語版）に関する極限点 (ほかの順序数は孤立点となる)。 よって、Zermelo構成でのω、つまりは空集合を出発点として 　ペアノシステムにより、シングルトンのωが存在し、これはシングルトンの可算無限重の集合と解釈できるってこと ４）こうやって構成した ペアノシステムによるシングルトンのωが、正則性公理に反するはずもない なお、まとめると Zermeloの後者関数 「0 := {}, suc(a) := {a} 」 の 順序位相（英語版）に関する極限点として ωが定義される それだけのこと http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/201

204: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2020/01/02(木) 09:40:01.80 ID:YLjNnjPy >>201 補足 ＞　ペアノの公理 ＞任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する（suc(a) は a + 1 の "意味"）。 さて 0 := {} として 「suc(a) は a + 1 」を生かして suc(a) ：＝{{a},0}と 定義してみよう この場合、1以上の各集合の要素の数は2だ 1 :={{0},0} 2 :={{1},0} 3 :={{2},0} 　・ 　・ こうして構成された 後者関数 「0 := {}, suc(a) :={{a},0} の 順序位相（英語版）に関する極限点として ωが定義される それだけのこと 　なお、>>153より ノイマン構成 後者関数 「0 := {}, suc(a) :=a∪{a} の 順序位相（英語版）に関する極限点として ωが定義される それだけのこと 当然、上記各ωは異なる （∵ 定義の後者関数が異なるのだから、各ωが異なるのは当然でしょ（＾＾；） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/204

250: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2020/01/03(金) 09:45:24.38 ID:ivt0JCXh >>249 ＞0,1,2,… が収束しないように、{},{{}},{{{}}},… は収束しないだろｗ　何が極限だｗ Yes！！ （＾＾； （有限内に）”収束しない”は、全く正しい 自然数のノイマン構成：空集合から出発して、後者関数はそれ以前に出来た全ての数とする 無限集合N＝自然数の集合に至る （有限内に）”収束しない”が、極限は存在する（＾＾； Zermelo構成に同じ（>>153ご参照） （>>176より） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0 自然数 (抜粋) 集合論において標準的となっている自然数の構成は以下の通りである。 ・空集合を 0 と定義する。 　0:=Φ ={} ・任意の集合 a の後者は a と {a} の合併集合として定義される。 suc(a):=a∪{a} ・0 を含み後者関数について閉じている集合のひとつを M とする。 ・自然数は「後者関数について閉じていて、0 を含む M の部分集合の共通部分」として定義される。 無限集合の公理により集合 M が存在することが分かり、このように定義された集合がペアノの公理を満たすことが示される。 このとき、それぞれの自然数は、その数より小さい自然数全てを要素とする数の集合、となる。 0 := {} 1 := suc(0) = {0} = {{}} 2 := suc(1) = {0, 1} = {0, {0}} = { {}, {{}} } 3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = { {}, {{}}, { {}, {{}} } } 等々である[3]。 [3]^ (von Neumann 1923) (引用終り) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/250

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