[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論2 (1002ﾚｽ)
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250(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/01/03(金)09:45 ID:ivt0JCXh(1/8) AAS
>>249
＞0,1,2,… が収束しないように、{},{{}},{{{}}},… は収束しないだろｗ 何が極限だｗ
Yes！！ （＾＾；
（有限内に）”収束しない”は、全く正しい
自然数のノイマン構成：空集合から出発して、後者関数はそれ以前に出来た全ての数とする
無限集合N＝自然数の集合に至る
（有限内に）”収束しない”が、極限は存在する（＾＾；
Zermelo構成に同じ（>>153ご参照）
（>>176より）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
自然数
(抜粋)
集合論において標準的となっている自然数の構成は以下の通りである。
・空集合を 0 と定義する。
0:=Φ ={}
・任意の集合 a の後者は a と {a} の合併集合として定義される。
suc(a):=a∪{a}
・0 を含み後者関数について閉じている集合のひとつを M とする。
・自然数は「後者関数について閉じていて、0 を含む M の部分集合の共通部分」として定義される。
無限集合の公理により集合 M が存在することが分かり、このように定義された集合がペアノの公理を満たすことが示される。 このとき、それぞれの自然数は、その数より小さい自然数全てを要素とする数の集合、となる。
0 := {}
1 := suc(0) = {0} = {{}}
2 := suc(1) = {0, 1} = {0, {0}} = { {}, {{}} }
3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = { {}, {{}}, { {}, {{}} } }
等々である[3]。
[3]^ (von Neumann 1923)
(引用終り)
251(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/01/03(金)09:53 ID:ivt0JCXh(2/8) AAS
>>250 参考
下記、「上極限と下極限は（無限大をとることを許せば）必ず存在する」の
”（無限大をとることを許せば）”に、ご注目（＾＾；
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
上極限と下極限
(抜粋)
性質
数列 (an) の上極限と下極限は（無限大をとることを許せば）必ず存在する。これは極限値が存在するかどうか分からないのと対照的である。
252(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/01/03(金)10:11 ID:ivt0JCXh(3/8) AAS
>>251 補足
１．完備化という概念がある
２．完備化 (順序集合)（英語版）下記
”Dedekind cut”について、説明されている
３．カントールは、完備化にコーシー列を使ったという（下記）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
完備化 (順序集合)（英語版）（Dedekind-MacNeille completion へ飛ぶ）
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Dedekind-MacNeille completion
(抜粋)
Examples
If Q is the set of rational numbers, viewed as a totally ordered set with the usual numerical order, then each element of the Dedekind-MacNeille completion of Q may be viewed as a Dedekind cut, and the Dedekind-MacNeille completion of Q is the total ordering on the real numbers, together with the two additional values ±∞.[7]
The construction of the real numbers from the rational numbers is an example of the Dedekind completion of a totally ordered set, and the Dedekind-MacNeille completion generalizes this concept from total orders to partial orders.
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
コーシー列
(抜粋)
コーシー列（コーシーれつ、Cauchy sequence）は、数列などの列で、十分先のほうで殆ど値が変化しなくなるものをいう。
数学史における位置付け
19世紀後半には実数を算術的に定義する方法が盛んに研究され、
その中で現在コーシー列と呼ばれる概念を導入したのがカントールである。
カントールがこの成果を発表したのは1872年で、1821年に発表されたコーシーの収束判定法を満たす数列を用いて実数を定義しようという、当時一般的だった考え方に基づいている。
このコーシーの収束判定法を満たす数列としてコーシー列が用いられ、実数はコーシー列の極限として定義された。
254(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/01/03(金)10:32 ID:ivt0JCXh(4/8) AAS
>>252 補足
１．コーシー列による完備化では、極限の概念が不可欠
２．無限数列 (xn) について、有理数よりなる数列 （n有限では） xn∈Qで
その極限で lim n→∞ xn ＝r not∈Q なる無限数列 (xn) が定義できる
（それが出来なければ、実数Rは構成できない）
３．要するに、一般的に言って、極限は、もとの有限の場合の集合の外に出る場合があるってこと
有理数よりなるコーシー列 (xn) の極限は、Q内の場合もあれば、Q外の場合もあるってこと
４．似た例が、時枝記事の議論の時に
”帰納法の反例”だとしてｗ、
”開集合Onの積集合 ∩On が、一点に収束するときに、一点だから閉集合になる
だから、「帰納法の反例だ」”という主張があった
おれは、「それって、（帰納法の反例でなく）極限でしょ」と言ってやったんだ
５．要するに、極限 lim n→∞ xn には、xnをその属する集合の外に出す力があるという理解が正しいのだ
Zermelo構成のシングルトンによる後者関数についても同じ
おサルが、有限の場合に外側に{}があるの無いのとか、一番右の}は何だとか、右から二番目の}があるの無いの
そういう有限シングルトンとの対比でもって、シングルトンの極限の存在を否定することはできません
６．これ、数学の基本の ”き”
255(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/01/03(金)10:49 ID:ivt0JCXh(5/8) AAS
>>253
おつです
岡潔（下記）
制限をつけていくのではなく、むしろ逆にもっと理想化した難しい問題を設定して、それを解くべきであると言った
これにならって、Neumann流、Zermelo流に拘らずに、もっと一般に後者関数を考えるべき
そうすれば、自然に後者関数のn→∞の極限の概念に到達するだろう
その後で、個別の後者関数に応じて、極限によって得られる集合がどのようなものかを考えるべし（＾＾；
（下記、ペアノの公理もご参照）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
広中平祐
(抜粋)
特異点解消問題について、1963年に日本数学会で講演した。その内容は、一般的に考えるのでは問題があまりに難しいから、様々な制限条件を付けた形でまずは研究しようという提案であった。
その時、岡潔が立ち上がり、問題を解くためには、広中が提案したように制限をつけていくのではなく、むしろ逆にもっと理想化した難しい問題を設定して、それを解くべきであると言った。
その後、広中は制限を外して理想化する形で解き、フィールズ賞の受賞業績となる[4]。
（>>152より）
（参考）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ペアノの公理
(抜粋)
任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する（suc(a) は a + 1 の "意味"）。
存在と一意性
集合論における標準的な構成によって、ペアノシステムの条件を満たす集合が存在することを示せる。
まず、後者関数を定義する; 任意の集合 a に対してその後者を suc(a) := a ∪ {a} と定義する。
集合 A が後者関数に関して閉じているとき、つまり 「a が A の元であるならば suc(a) も A の元である」が成り立つときに、 A は帰納的集合であるという。
任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する（suc(a) は a + 1 の "意味"）。
一階述語論理で定式化されたペアノの公理は、無数の超準モデルを持つ。（レーヴェンハイム＝スコーレムの定理）
二階述語論理によって定式化することで、ペアノシステムを同型の違いを除いて一意に定めることができる[2]。
(引用終り)
256(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/01/03(金)10:52 ID:ivt0JCXh(6/8) AAS
>>255
補足
あと、>>254に書いたように
”極限 lim n→∞ xn には、xnをその属する集合の外に出す力があるという理解が正しい”のです
で、極限 lim n→∞ xnが、その属する集合の外に出たことをもって
「正則性公理に反する」などと、噴飯ものの議論でしかないのです
257(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/01/03(金)11:20 ID:ivt0JCXh(7/8) AAS
>>256 追加
>>250より
自然数のノイマン構成：空集合から出発して、後者関数はそれ以前に出来た全ての数とする
>>164より
（ノイマン構成）に倣って、
後者関数suc (a)に対して、
それまでに出来た集合の和 ∪a との対応を考えよう
番号 ∪a
0:=Φ
1:={Φ} {0}
2:={{Φ}} {0,1}
・
・
n:={・・{Φ}・・} {0,1・・n-1}
・
・
↓（極限 lim n→∞ ）
ω:=・・・{Φ}・・・ {0,1・・n-1・・}（＝：N（自然数）)）
(引用終り)
という対応になる
もし、ノイマン構成のN（自然数）が、
下記のフォン・ノイマン宇宙
Vω+ω：ordinary mathematicsの宇宙であり、ツェルメロの集合論のモデル
内の存在とすれば、
>>176より
2 := suc(1) = {0, 1} = {0, {0}} = { Φ, {Φ} }→{{Φ}}（→は、一番右のΦを残すように不要の{}とΦを除く操作）
3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = { Φ, {Φ}, { Φ, {Φ} } }→{{{Φ}}}（同上）
というように
ノイマン構成の集合に対応して
→：（→は、一番右のΦを残すように不要の{}とΦを除く操作）
という集合操作を行うと、Zermeloのシングルトンが生成されるのです
なので、ノイマン構成のN（自然数）から、
→：（→は、一番右のΦを残すように不要の{}とΦを除く操作）
という集合操作、それは”超限回”の操作
で、Zermeloのシングルトンが生成されると解釈することも可能
なので、Zermeloのシングルトンも、Vω+ωの宇宙内（ツェルメロの集合論のモデル）です（＾＾；
つづく
258(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/01/03(金)11:21 ID:ivt0JCXh(8/8) AAS
>>257
つづき
（参考）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
フォン・ノイマン宇宙
フォン・ノイマン宇宙 Vとは、遺伝的整礎集合全体のクラスである。
この集まりは、ZFCによって定義され、ZFCの公理に解釈や動機を与えるためにしばしば用いられる。
整礎集合の階数(rank)はその集合の全ての要素の階数より大きい最小の順序数として帰納的に定義される。 [1]
特に、空集合の階数は0で、順序数はそれ自身と等しい階数をもつ。
Vの集合はその階数に基づいて超限個の階層に分けられ、その階層は累積的階層と呼ばれる。
Vと集合論
ω を自然数全体の集合とすると、
Vωは遺伝的有限集合全体の集合であり、無限公理の成り立たない集合論モデルである。
Vω+ωはordinary mathematicsの宇宙であり、ツェルメロの集合論のモデルである。
k が到達不能基数ならば、VkはZFCのモデルである。
そして、Vk+1はモース-ケリー集合論のモデルである。
V は二つの理由によって、"全ての集合による集合"とは異なるものである。第一に、これは集合ではない。各階層Vαがそれぞれ集合でも、その和であるVは真のクラスであるからだ
(引用終り)
以上
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