[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論2 (1002ﾚｽ)
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641(1): 2020/03/25(水)05:22 ID:hW5LBiGq(1/2) AAS
>>639
>無限を考えるとき、人はしばしば間違う
>そこで、有限の極限を確認するという、
>真面目な取り組みを心懸けるようお薦めしたい
質問
箱の中身を0〜9の10個の数に制限する
このとき、無限列は10進無限小数だと考えることができる
.000…の同値類の代表元を.000…とする
このとき、決定番号∞となる小数を一つ上げよ
例えば
.000…は決定番号１
.900…は決定番号２
.990…は決定番号３
…
としてこの数列の極限
.999…が決定番号∞
なのか？
もし、そうだとして、.999…が.000…と同値だとする証明はあるのか？
646(1): 2020/03/25(水)19:34 ID:hW5LBiGq(2/2) AAS
>>642
＞＞.999…が決定番号∞なのか？
＞Yes
本当？
まず、.999…はいかなるn∈Nについても
あるn<=mが存在して、m番目の桁が0でない
これは、.999…が、.000…と同値でないことを
示していると考えられるが如何？
＞＞もし、そうだとして、.999…が.000…と同値だとする証明はあるのか？
＞・まず、修正：「.999…00…が.000…00…と同値（つまり、 .999…00… 〜 .000…00…）」だな
その修正は認められない
無限列は{0,…,9}＾Nの要素、つまり、Nから{0,…9}への関数
つまり、どの桁も自然数で番号づけられている
追加した「00…」の0の開始位置も番号づけられなければならない
したがってその場合決定番号は自然数となり、∞とはならない
＞・この証明はあるが、
ではその証明は誤りなのでまっさきに修正しましょう
＞厳密には ”実数Rとは？、 Qの完備化である！”に、遡ってしなければならない
無限列として無限小数を持ち出しただけなのでRの位相構造は無関係
つまり、例えば、無限列全体がカントール集合（完全不連結）でも問題ない
＞・もし、大学数学科レベルの人に対してなら、「コーシー列を考えれば自明」の一言で証明は終わる！
上述の理由により、コーシー列を考える必要はない
大学数学科レベルの人なら、必ずこういう
「決定番号∞(最後の自然数）ということはない
なぜなら自然数の定義に反するから」
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