[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論2 (1002ﾚｽ)
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276: 2020/01/04(土)10:06 ID:YGbyzZoY(1/5) AAS
★マジック
任意のn∈Nに対して
集合N_n={x∈N|x>n}を考える
明らかに
・N_nはみな空集合でない
・有限個のN_n1,…,N_npの共通集合∩N_niは空集合でない
し・か・し
・無限個のN_n1,…の共通集合∩N_niは空集合！
♪なんでだろ〜 なんでだろ〜
なんでだ なんでだろ〜
277(1): 2020/01/04(土)10:17 ID:YGbyzZoY(2/5) AAS
★続・マジック
任意のn∈Nに対して
集合X_n={x∈(0,1)|x>1-1/2^n}を考える
（※ 1-1/2^1は、2進無限小数0.1…1(1の数がn個)と等しい)
明らかに
・X_nはみな空集合でない
・有限個のX_n1,…,X_npの共通集合∩X_niは空集合でない
し・か・し
・無限個のX_n1,…の共通集合∩X_niは空集合！
（※ ここから0.1…(1の数が無限個)は、
区間(0,1)の要素でないことが分かる)
♪なんでだろ〜 なんでだろ〜
なんでだ なんでだろ〜
278: 2020/01/04(土)10:20 ID:YGbyzZoY(3/5) AAS
>>277
誤 （※ 1-1/2^1は、2進無限小数0.1…1(1の数がn個)と等しい)
正 （※ 1-1/2^nは、2進有限小数0.1…1(1の数がn個)と等しい)
279: 2020/01/04(土)10:35 ID:YGbyzZoY(4/5) AAS
自然数の集合Sが有限であることの定義
最大の元がある
∃x∈S∀y∈S.y<=x
自然数の集合Sが無限であることの定義
最大の元がない
¬(∃x∈S∀y∈S.y<=x)
⇔∀x∈S¬(∀y∈S.y<=x)
⇔∀x∈S∃y∈S.¬(y<=x)
⇔∀x∈S∃y∈S.y>x
280: 2020/01/04(土)14:37 ID:YGbyzZoY(5/5) AAS
★続々マジック
集合Sを考える
S={x∈Q|x=1-1/2^n n∈N}
Sの要素を2進小数であらわすと
0.1…1 (1がn個)
さて
Sから有限個の要素をとった場合
ある自然数mか存在して、
2進小数でmから先の桁がみな0となる
し・か・し
Sから無限個の要素をとった場合
いかなる自然数mをとっても、
2進小数でmの桁が1であるような要素が必ず存在する
♪なんでだろ〜 なんでだろ〜
なんでだ なんでだろ〜
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