[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論2 (1002ﾚｽ)
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81(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/27(金)08:26 ID:DGQc6wD0(1/3) AAS
メモ
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ゲーデルの構成可能集合
クルト・ゲーデルによって導入された、集合論の公理を満たすモデル上で空集合から帰納的に構成していける集合のことである。より正確な定義は後に述べる。
性質
・L は全ての順序数を含む最小の ZFC のモデルである。
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極限順序数
順序数に関するフォンノイマンの定義（英語版）を用いれば、任意の順序数はそれより小さい順序数全体の成す整列集合として与えられる。順序数からなる空でない集合の合併は最大元を持たないから、常に極限順序数である。フォンノイマン基数割り当て（英語版）を用いれば、任意の無限基数もまた極限順序数となる。
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Von Neumann definition of ordinals
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フォン・ノイマン宇宙 Vとは、遺伝的整礎集合全体のクラスである。
数学の集合論とその周辺分野において、フォン・ノイマン宇宙 Vとは、遺伝的整礎集合全体のクラスである。この集まりは、ZFCによって定義され、ZFCの公理に解釈や動機を与えるためにしばしば用いられる。
整礎集合の階数(rank)はその集合の全ての要素の階数より大きい最小の順序数として帰納的に定義される。 [1] 特に、空集合の階数は0で、順序数はそれ自身と等しい階数をもつ。Vの集合はその階数に基づいて超限個の階層に分けられ、その階層は累積的階層と呼ばれる。
82(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/27(金)08:27 ID:DGQc6wD0(2/3) AAS
メモ追加
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宇宙
(抜粋)
構造 (もしくはモデル) の宇宙（うちゅう、英: Universe）とは議論領域のことである。
宇宙とは、特定の状況において考察される実体のすべてを元として含むような類のことである。
通常の数学
与えられた X (カントールの場合には、 X = R) の部分集合を考えれば、宇宙は X の部分集合の集合の存在を要請する。 (例えば、X の位相は X の部分集合の集合である。)
主要な関心が X であっても、 X よりもかなり大きな宇宙が必要とされることになる。 上記のアイデアに続いて、X の宇宙としての 上部構造 が要請される。
物事を単純に保つために、自然数の集合 N は所与として SN を形成し、N 上の上部構造をとってもよい。これはしばしば通常の数学の宇宙であると考えられる。通常研究される数学のすべてはこの宇宙の要素を参照していると考えるということである。
集合論
SNは通常の数学の宇宙であるという主張に正確な意味を与えることは可能である。すなわち、それはツェルメロ集合論のモデルである。
公理的集合論は元来1908年にエルンスト・ツェルメロによって開発された。ツェルメロ集合論は"通常の"数学を公理化することができるため、カントールによって三十年早く始められたプログラムを達成して、確実に成功した。
しかし、ツェルメロ集合論は公理的集合論および数学基礎論、特にモデル理論における他の研究のさらなる発展にとって不十分であった。劇的な例として、上述の上部構造プロセスの記述はツェルメロ集合論においてそれ自身実行できないことが挙げられる。
最終ステップとして、無限和 (infinitary union) としてのSを形成するための置換公理が必要である。
置換公理は、ツェルメロ＝フレンケル集合論を形成するように1922年にツェルメロ集合論に付加された。
この公理集合は今日最も広く受け入れられている。
そのため、通常の数学がSNにおいてなされるのに対し、SNの議論は"通常の"数学を越えてメタ数学の領域となる。
つづく
83(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/27(金)08:28 ID:DGQc6wD0(3/3) AAS
>>82
つづき
圏論
圏論に歴史的につながる宇宙への別のアプローチの方法がある。これはグロタンディーク宇宙と呼ばれる。大まかに言えば、グロタンディーク宇宙とは集合論の通常実行されるすべての操作を内部にもつ集合である。
例えば、グロタンディーク宇宙 U における2つの集合の和集合も U の内部にある。同様に、共通部分、順序対、冪集合などもまた U の内部にある。
これは上記の上部構造に類似している。グロタンディーク宇宙の利点は、それが実際の集合であって固有類ではないことである。グロタンディーク宇宙の難点は、厳密さを欲するなら、グロタンディーク宇宙を捨てなければならないことである。
最も一般的なグロタンディーク宇宙 U の用途はすべての集合の圏を U で置き換えるものである。S ∈U のとき、U-large でないなら、集合S は U-small となる。
すべての U-small 集合の圏 U-Set は、すべての U-small の集合を対象として、それらの集合の間のすべての関数を射としてもつ。対象の集合と射の集合の両方共集合であり、このことが固有類を用いることなく "すべての" 集合の圏を議論することを可能にしている。
すると、この新しい圏の観点から別の圏の定義が可能になる。例えば、すべての U-small 圏の圏は宇宙 U の内部において、すべての対象の集合と射の集合の圏の圏になる。
すると通常の集合論の独立変数が、すべての圏の圏に適用される。さらに誤って固有類に対して言及する心配もなくなる。なぜならグロタンディーク宇宙は非常に広大であり、これはありとあらゆる数学的構造を充足させるからだ。
グロタンディーク宇宙において作業している場合、数学者はしばしば宇宙の公理を仮定する。"任意の集合 x に対し、x ∈U となるような宇宙 U が存在する。
" この公理の重要な点は、任意の集合がいくつかの U に対して U-small が検討できることである。つまり一般的なグロタンディーク宇宙に内部で、任意の独立変数が適用されるということである。この公理は強到達不能基数の存在と密接に関係している。
以上
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