現代数学の系譜　カントル　超限集合論

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721: 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/14(土)07:26 ID:s6Tab8iq(1/15) AAS
>>720
おまえの負けだな

１．「信用」？数学は信用でやるものだったのか？
２．５CHは、基本は匿名の名無しさんだよね？　日替わりIDの匿名さんを「信用」？バカじゃね（＾＾
３．自ら、”自分は数学は不出来で、分かりません”と自白しているってことよね

722(1): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/14(土)07:47 ID:s6Tab8iq(2/15) AAS
>>713
文字化けを直して、再引用しよう
外部ﾘﾝｸ[html]:web.mat.bham.ac.uk
Foundation and epsilon-induction
(抜粋)
1. Introduction
Either by examining the sets created in the first few levels of the cumulative hierarchy or from other means, via considering the idea of constructions of sets perhaps, we conclude that we do not expect sets to have infinite descending sequences
x0∋x1∋x2∋x3∋x4∋…
at least for sets in the cumulative hierarchy of constructed sets.
The axioms of Zermelo-Fraenkel set theory are intended to represent axioms true in this hierarchy, so we expect to have an axiom stating there can be no such descending sequence.
Unfortunately, the statement that there is no such descending sequence is not first order, but second order.
This is analogous to the fact that there are nonstandard structures satisfying all first order sentences of arithmetic true in N.
However, the example of arithmetic provides at least one clue as to a powerful axiom scheme true in all structures without infinite descending chains: induction.
Applied to set theory we have the axiom scheme of ∈-induction.
Axiom Scheme of ∈-Induction:
For all first order formulas Φ(x,a￣) of the language L∈, ∀a￣(∀x(∀y∈xΦ(y)→Φ(x))→∀xΦ(x,a￣)).
We are not going to adopt this as an axiom scheme for Zermelo Fraekel because it will follow from other axioms, and it will be instructive to see how that happens. We will, however, adopt the following special case of ∈-Induction.
Axiom of Foundation: ∀x(∃y y∈x→∃y(y∈x∧￢∃z(z∈x∧z∈y))).

723(1): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/14(土)07:55 ID:s6Tab8iq(3/15) AAS
>>722
＜Google翻訳＞（少し手直し）
基礎とイプシロン帰納
（抜粋）
1.はじめに
累積hierarchyの最初のいくつかのレベルで作成された集合を調べることによって、または他の手段から、おそらく集合の構築のアイデアを検討することにより、集合が無限の降順シーケンスを持つことを期待しないと結論付けます
x0∋x1∋x2∋x3∋x4∋…
少なくとも、構築された集合の累積hierarchy内の集合については。
Zermelo-Fraenkel集合理論の公理は、このhierarchyで真である公理を表すことを目的としているため、このような下降シーケンスは存在できないという公理を持つことが期待されます。
残念ながら、このような降順がないというステートメントは、1次ではなく2次です。
これは、Nで真の算術のすべての1次文を満たす非標準構造があるという事実に類似しています。
ただし、算術の例では、無限の降順チェーンのないすべての構造に当てはまる強力な公理スキームに関する少なくとも1つの手がかりが得られます。
集合論に適用すると、ε-帰納の公理スキームがあります。
ε-帰納の公理スキーム：
言語L∈のすべての一次式Φ（x、a￣）について、∀a￣（∀x（∀y∈xΦ（y）→Φ（x））→∀xΦ（x、a￣））。
Zermelo Fraekelの公理スキームとしてこれを採用するつもりはありません。これは他の公理から得られるものであり、それがどのように起こるかを知ることは有益だからです。ただし、次の特別なケースのε-Inductionを採用します。
基礎公理：∀x（∃yy∈x→∃y（y∈x∧￢∃z（z∈x∧z∈y）））。

724(2): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/14(土)08:03 ID:s6Tab8iq(4/15) AAS
>>723
>累積hierarchyの最初のいくつかのレベルで作成された集合を調べることによって、または他の手段から、おそらく集合の構築のアイデアを検討することにより、集合が無限の降順シーケンスを持つことを期待しないと結論付けます
>x0∋x1∋x2∋x3∋x4∋…
>少なくとも、構築された集合の累積hierarchy内の集合については。

言いたいことは、単純で
無限の降順シーケンス
x0∋x1∋x2∋x3∋x4∋…
は、ダメってことね

で、
無限の上昇シーケンス
x0∈x1∈x2∈x3∈x4∈…
は、OKってことね

で、2つのシーケンスを比較する
降順：x0∋x1∋x2∋x3∋x4∋…
上昇：x0∈x1∈x2∈x3∈x4∈…

シーケンスの長さとしては、どちらも可算無限
で、降順はダメで、上昇はOK
∵ 上昇シーケンスを禁止したら、Zermelo-Fraenkel集合理論の公理から、可算無限例えば自然数Nの無限列が生まれないから、自然数Nが生まれない

725(4): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/14(土)08:13 ID:s6Tab8iq(5/15) AAS
>>724 つづき

<ノイマン構成>
0 := {}, suc(a) :=a∪{a} と定義する
0 を含み後者関数について閉じている集合のひとつを M とする。
自然数は「後者関数について閉じていて、0 を含む M の部分集合の共通部分」として定義される。
無限集合の公理により集合 M が存在することが分かり、このように定義された集合がペアノの公理を満たすことが示される。
このとき、それぞれの自然数は、その数より小さい自然数全てを要素とする数の集合、となる。
0 := {}
1 := suc(0) = {0} = {{}}
2 := suc(1) = {0, 1} = {0, {0}} = { {}, {{}} }
3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = { {}, {{}}, { {}, {{}} } }
等々である[3]。

以上の構成は、自然数を表すのに有用で便利そうな定義を選んだひとつの結果であり、他にも自然数の定義は無限にできる。これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。

<Zermelo構成>
0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
0 := {}
1 := {0} = {{}}
2 := {1} = {{{}}}
3 := {2} = {{{{}}}}
と非常に単純な自然数になる。

728(3): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/14(土)08:37 ID:s6Tab8iq(6/15) AAS
>>725 つづき

<ノイマン構成>にしろ、<Zermelo構成>にしろ
0,1,2,3,・・・たちを集合として見たら

上昇列：0∈1∈2∈3∈4∈…

が構成される
これは、可算無限長の上昇列
で、<ノイマン構成>と<Zermelo構成>とは、一対一対応がつくのです

自然数は「後者関数について閉じていて、0 を含む M の部分集合の共通部分」（>>725）
とあるように、無限集合の公理によりできる集合 M には、自然数Nに余分な（過剰）要素が存在する
（だから、無限集合（＝後者関数について閉じていて）で、共通部分に絞って、過剰要素を落とすのです）

この過剰要素は、有限の要素ではありえない
（∵有限ならば自然数Nの要素）
従って、ノイマン構成では、自然数Nを超える無限要素が構成できる

ノイマン構成とZermelo構成とは、一対一対応がつくから
Zermelo構成にも、自然数Nを超える無限要素が構成できる

それを、{{…}}（>>720）と簡単に表現しただけのことで
もともと、正確な表現って無理でしょ
（何らかの妥協をしないと、簡単な表現はできない）

ところが、簡単にマンガ的に表現したものを攻撃して、「一番右の”}”があるのないの・・」とか
果ては、正則性公理に反するとか、おいおい

要は、>>713の原文（英文だが）を読んでみなさいってことよ
読めなければ、もともと、この”カントル　超限集合論”スレで議論する力がないってことでしょ

以上

729(4): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/14(土)08:50 ID:s6Tab8iq(7/15) AAS
>>728 補足

ノイマン構成で、下記のカントールの順序数が構成できる
具体的には、ノイマン構成で順序数ωが構成できる
（当たり前だが）

ノイマン構成とZermelo構成とは、その構成法から、一対一対応がつく
（∵ 後者関数が少し違うだけなので、順序列としては当然同型になる（∈列として同型））

よって、Zermelo構成で順序数ωが構成できる
順序数ωを簡便に表現すれば、例えば {{…}} ってことです
（この簡便化した表現をいくら攻撃しても、Zermelo構成の順序数ωの存在は否定できないよ）

QED（＾＾

外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
順序数
(抜粋)
順序数の並び方を次のように図示することができる：
0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............, ω + ω, S(ω + ω), S(S(ω + ω)), S(S(S(ω + ω))), ..............................
まず、0 が最小の順序数である。その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる。
そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である。ω の後にはまたその後続者たちが S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ... と無限に続いていく。
その後、それらの最小上界（後に ω + ω と呼ばれる）が並び、その後続者たちが無限に続く。だがそれで終わりではない。
無限に続いた後には、必ずそれまでに並んだすべての順序数たちの最小上界が存在し、その後続者、そのまた後続者、... のように順序数の列は"永遠に"続いていくのである。

735(1): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/14(土)10:04 ID:s6Tab8iq(8/15) AAS
おサル、必死の言い繕い
墓穴を大きくするおサルｗ（＾＾；

739(2): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/14(土)15:14 ID:s6Tab8iq(9/15) AAS
（＾＾；
「∈列有限長」ｗｗ
おサル＝ID:uZFmzNJe は、恥かき

”「集合のいかなる∈列も有限長で終わる」
というのが正則性公理ですから”ｗｗ

(>>636より)
Inter-universal geometry と ABC予想 42
2chｽﾚ:math
701 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2019/12/07(土) ID:uZFmzNJe [3/3]
>>697
＞正則性公理には反してませんよ、ZFCに反してませんよと強調したかった
しかし∈-loopsは、正則性公理とは矛盾しますけどね
「集合のいかなる∈列も有限長で終わる」
というのが正則性公理ですから
（それゆえ「基礎の公理」とも呼ばれる）

外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
整礎関係
(抜粋)
数学において、二項関係が整礎（せいそ、英: well-founded）であるとは、真の無限降下列をもたないことである。

定義
集合あるいはクラス X 上の二項関係 R が整礎であるとは、X の空でない任意の部分集合 S が R に関する極小元を持つことをいう[1]。

X が集合であるとき、従属選択公理（英語版）（これは選択公理よりも真に弱く可算選択公理よりも真に強い）を仮定すれば、同値な定義として、関係が整礎であることを可算無限降下列が存在しないこととして定められる[3]。

集合 x が整礎的集合 (well-founded set) であることは、∈ が x の推移閉包上で整礎関係となることと同値である。ZF における公理のひとつである正則性の公理は、全ての集合が整礎であることを要請するものである。

関係 R が X 上で逆整礎 (converse well-founded) または上方整礎 (upwards well-founded) であるとは、R の逆関係 R?1 が X 上の整礎関係であるときにいう。このとき R は昇鎖条件を満たすという。

例
全順序でない整礎関係の例。
・自然数の順序対全体の集合 N × N 上の、(n1, n2) < (m1, m2) ⇔ n1 < m1 かつ n2 < m2 となる順序。

整礎でない関係の例。
・負整数全体 {-1, -2, -3, …} の通常の順序。任意の非有界部分集合が最小元を持たない。
・有理数全体（または実数全体）の標準的な順序（大小関係）。たとえば、正の有理数（または正の実数）全体は最小元を持たない。
(引用終り)

740(2): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/14(土)15:31 ID:s6Tab8iq(10/15) AAS
>>739
＞”「集合のいかなる∈列も有限長で終わる」

じゃ、>>728の
<ノイマン構成>

0,1,2,3,・・・たちを集合として見て
可算無限長の上昇列
0∈1∈2∈3∈4∈…

（当然この列は、ωを超えて延長可能（>>729ご参照））
が否定されるぞｗ（＾＾

おサルよｗｗ

747(3): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/14(土)21:58 ID:s6Tab8iq(11/15) AAS
>>743
>ωから降下していく場合、いきなり何かある自然数ｎに降下するから

おサルの墓穴は、笑えるわｗ

下記の
”定義 2.2
（ X, =< ）を全順序とする。Xに無限降下列
a0 > a1 > a2 > ・・・ (ai ∈ X)
が存在しないとき、（ X, =< ）を整列順序という。
別の言い方をすれば、整列順序とは空でないどんな部分集合 Y ⊆ X も最小元を持つよう
な全順序のことである。”

を、熟読しなよ、あほサル（＾＾；

外部ﾘﾝｸ[html]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
全学共通科目「現代の数学と数理解析」
数理解析研究所教員によるリレー式講義　（２０１８年度）

外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
第７回
日時：２０１８年６月１日（金）
１６：３０−１８：００
場所：数理解析研究所　４２０号室
講師：照井一成　准教授
題目： NASH村の命名規則：整列擬順序の理論へ
要約：
人名をひらがなで表す。名前AがBに埋め込めるとは、Bからいくつか文字を取り除くと Aになることをいう。
たとえば「ゆか」は「ゆうか」や「かゆかゆ」に埋め込めるが「かゆゆ」には埋め込めない。
さて、NASH村では次々と子供が生まれていくが、新生児の命名にはひとつきまりがあり、過去に生まれた子の名前が新生児の名前に埋め込めてはならないとする。
この命名規則はいつまでも維持可能だろうか？それともいつかは新生児に名前をつけられない事態が生じるだろうか？
「生じる」というのがHigmanの定理(1952)である。
この定理はNash-WilliamsやKruskal等多くの研究者によって一般化され、今でも研究は発展し続けている。
本講義ではこの問題を取り掛かりとして、整列擬順序理論の一端を紹介したい。

(抜粋)

定義 2.2
（ X, =< ）を全順序とする。Xに無限降下列
a0 > a1 > a2 > ・・・ (ai ∈ X)
が存在しないとき、（ X, =< ）を整列順序という。
別の言い方をすれば、整列順序とは空でないどんな部分集合 Y ⊆ X も最小元を持つよう
な全順序のことである。どんな集合上にも整列順序をいれられるというのが Zermelo の整列定理である。
これは選択公理と同値である。

748(2): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/14(土)22:07 ID:s6Tab8iq(12/15) AAS
>>747 補足

”定義 2.2
（ X, =< ）を全順序とする。Xに無限降下列
a0 > a1 > a2 > ・・・ (ai ∈ X)”

は、列の長さを言っているんだろ？（＾＾

勝手に、
（>>743）
>ωから降下していく場合、いきなり何かある自然数ｎに降下するから

ってさ、勝手に途中の要素いくつか
列・・・<an <an-1 <・・・で
例えば、an-1 <・・・を飛ばすのか？

で、有限で御座いますとは
おサルの身勝手数学は、おもろいなーｗｗ（＾＾；

それが許されるなら
無限列は常に有限列になるぞｗ

749: 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/14(土)22:09 ID:s6Tab8iq(13/15) AAS
>>748 タイポ訂正

列・・・<an <an-1 <・・・で
例えば、an-1 <・・・を飛ばすのか？
　↓
列・・・<an <an+1 <・・・で
例えば、an+1 <・・・を飛ばすのか？

おサルを笑っていたら
間違えた（＾＾；

754: 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/14(土)23:25 ID:s6Tab8iq(14/15) AAS
>>747 補足

”定義 2.2
（ X, =< ）を全順序とする。Xに無限降下列
a0 > a1 > a2 > ・・・ (ai ∈ X)
が存在しないとき、（ X, =< ）を整列順序という。
別の言い方をすれば、整列順序とは空でないどんな部分集合 Y ⊆ X も最小元を持つよう
な全順序のことである。”

（>>740より）
<ノイマン構成>
0,1,2,3,・・・たちを集合として見て
可算無限長の上昇列
0∈1∈2∈3∈4∈…

このような、上昇列は、どんなに長くなって、たとえ無限長になっても
「空でないどんな部分集合 Y ⊆ X も最小元を持つ」が言える
だから、<ノイマン構成>の上昇列は、
「空でないどんな部分集合 Y ⊆ X も最小元を持つ」が言えるから
整列順序である

つまり、正則性公理に反するものではない

Zermelo構成も、上昇列を構成するので
正則性公理に反するものではない

ＱＥＤ
ｗｗ（＾＾；

755: 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/14(土)23:30 ID:s6Tab8iq(15/15) AAS
>>752

「いかなる超限順序数からの降下列も有限列
これが超限帰納法」

おサル
哀れななんとかさんと、良い勝負だな、おまえｗ（＾＾

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