[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論 (1002ﾚｽ)
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72(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/05(土)16:23:30.90 ID:JrhjRl4x(30/46) AAS
分出公理、冪集合公理、無限公理、貼っておきます（＾＾
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
公理的集合論
(抜粋)
分出公理
置換公理はフレンケルによって次の分出公理の代わりにおかれたものである（1922年）。分出公理は上に述べた ZF の公理から示すことができる。
分出公理 任意の集合 X と A を自由変数として使用しない論理式 ψ(x) に対して、X の要素 x で ψ(x) をみたすような x 全体の集合が存在する：
∀X∃A∀x(x∈A←→(x∈X∧ψ(x)))。
この公理は、論理式 ψ をパラメータとする公理図式である。
論理式 ψ を決めたとき、X に対して分出公理が存在を主張する集合はただ一つであることが外延性の公理から言えるので、
これを {x∈X｜ψ(x)}で表す。
{x∈X｜x∈Y} を X∩Yで表す。
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
冪集合公理
(抜粋)
略
A の冪集合 P(A)
この公理を通常の言葉で言い直すと、次のようになる：
任意の集合 A が与えられたとき、任意の集合 B が P(A) に属するようなある集合 P(A) が存在するための必要十分条件は、B のすべての元が A の元でもあることである。
部分集合関係は公理的に定義されるため、形式言語において部分集合は用いられない。＊）
外延性公理により、上記の集合は一意であり、このことはすべての集合に冪集合が存在することを意味する。
冪集合公理は集合論のほとんどの公理化において現れる。それは一般に問題を生じさせるものではないが、構成的集合論（英語版）においては可術性（predicativity）に関する懸念を解消するためにより弱いバージョンの冪集合公理が好まれている。
(引用終り)
注：＊）ここ直訳ぽいけど、要するに、冪集合公理の記述には、”部分集合”という用語は使わないってことです
つづく
308(3): 2019/10/12(土)18:13:02.90 ID:Vy+smElV(6/8) AAS
もしかしてxnのnが動いてるところのNとxnが動いてるF(Ω)を混同してるのかな？
Nは通常のωを想定して書いてます。
ホントは自然数と対応付くものならなんでもいいんですが混乱するのでN=ωにします。
それともう議論が発散するだけなので数列の順は降鎖でいきます。
もうそこで議論が発散するのは避けましょう。
とりあえず
--- claim(※) ---
S={ n | ∃(x1,x2,‥,xn), Ω=x1, x[i]∋x[i+1]}
には最大値が存在する。
---
このclaimにも名前をつけて(※)とします。
これを示すために(※)を否定して
--- Hypothesis (h) ---
S={ n | ∃(x1,x2,‥,xn), Ω=x1, x[i]∋x[i+1]}
には最大値が存在しない。
----
としましょう。
すると
X[m]:={(x1,x2,‥,xm) | x1=Ω, x[i]∋x[i+1]}‥‥(1)
とおくとき
--- ness. cond. (nc1) ---
全てのm∈Nに対してX(m)は空集合でない。
---
が導かれる。
ここまではいいでしょうか？
316: 第六天魔王 ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/12(土)23:01:09.90 ID:XYOM7riD(2/3) AAS
>>314
馬鹿は、最大の自然数が存在すると思ってるのか？ｗ
「最大の自然数が存在しない」という点では、
数学関係者と安達の間に意見の相違はない
相違があるとすれば
「自然数全体の集合が存在するか否か」
無限公理においては、最大の自然数が存在しないにも関わらず
自然数全体の集合は存在する
むしろ馬鹿の「最後の元が存在しないなら集合になり得ない」
という発想が、安達とそっくりｗ
数学はそういう馬鹿な考え方は捨て去ったｗ
363: 2019/10/13(日)18:21:46.90 ID:V6/d9xmP(5/6) AAS
>>357
おサルは、面白いな
頑張れよ(゜ロ゜;
729(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/14(土)08:50:58.90 ID:s6Tab8iq(7/15) AAS
>>728 補足
ノイマン構成で、下記のカントールの順序数が構成できる
具体的には、ノイマン構成で順序数ωが構成できる
（当たり前だが）
ノイマン構成とZermelo構成とは、その構成法から、一対一対応がつく
（∵ 後者関数が少し違うだけなので、順序列としては当然同型になる（∈列として同型））
よって、Zermelo構成で順序数ωが構成できる
順序数ωを簡便に表現すれば、例えば {{…}} ってことです
（この簡便化した表現をいくら攻撃しても、Zermelo構成の順序数ωの存在は否定できないよ）
QED（＾＾
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
順序数
(抜粋)
順序数の並び方を次のように図示することができる：
0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............, ω + ω, S(ω + ω), S(S(ω + ω)), S(S(S(ω + ω))), ..............................
まず、0 が最小の順序数である。その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる。
そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である。ω の後にはまたその後続者たちが S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ... と無限に続いていく。
その後、それらの最小上界（後に ω + ω と呼ばれる）が並び、その後続者たちが無限に続く。だがそれで終わりではない。
無限に続いた後には、必ずそれまでに並んだすべての順序数たちの最小上界が存在し、その後続者、そのまた後続者、... のように順序数の列は"永遠に"続いていくのである。
877: Ｑ ◆jPpg5.obl6 2019/12/18(水)23:39:19.90 ID:1Iara4Wc(4/10) AAS
エビちゃんとも呼ばれてます(^^)
933: 2019/12/20(金)19:09:30.90 ID:ylfrCRaM(3/10) AAS
>>923
＞何を言いたいのか、理解できないぞｗ
それは◆e.a0E5TtKEが馬鹿だからｗｗｗ
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