[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論 (1002ﾚｽ)
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73: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/05(土)16:23:59.58 ID:JrhjRl4x(31/46) AAS
>>72
つづき
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
無限公理
(抜粋)
定義
ZF公理系における公式な定義は次の通りである。
空集合を要素とし、任意の要素 x に対して x ∪ {x} を要素に持つ集合が存在する：
解釈と帰結
上記定義では「無限」という言葉は用いられていないが、この公理によって（少なくとも1つの）無限集合の存在が保証されることになる。
まず定義中の集合 A（注：無限集合） は以下の性質を満たすことを確認できる。
（以下同様に繰り返す）
各手続きで得られた集合を要素とする集合を B:={Φ,{Φ},{Φ,{Φ}},・・・} とおくと、 B は A の部分集合である。
この手続きは何回でも繰り返すことができるが、もし有限回で終えた場合、 B は有限集合であり、 A≠Bである。
なぜならば定義により B∪{B}∈A であるが、B∪{B} not∈B となるからである。
一方 A が有限集合であれば、この手続きを繰り返すことで B が A よりも多くの要素をもつことができてしまう。
従って A は有限集合ではない（すなわち無限集合である）ため、
無限公理を採用すれば直ちに無限集合の存在を認めることになる。
上記の手続きはペアノの公理における自然数の構成方法と同様である。
ZFC公理系において、自然数全体の集合は無限集合の中で最小のものである。（可算集合）
(引用終り)
以上
126: 哀れな素人 2019/10/06(日)09:47:58.58 ID:aAisPx0D(8/15) AAS
>なに 怯えてるんだ、安達
アホのくせに虚勢を張る（笑
怯えているのはこいつなのに（笑
>安心しろ 貴様の頭蓋骨を盃にして酒飲むほど悪趣味じゃない
>ま、馬鹿の脳味噌でブレインマサラ作って食ってみたいけどな
こういう文章にこの男の異常性が現れている（笑
人肉嗜食願望さえ抱いている異常者である（笑
嘘だと思うならガロアスレのこいつの過去レスを見れば分る（笑
269(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)06:41:17.58 ID:0oc9Ztsl(1/28) AAS
>>112 補足
∈の無限降下列と従属選択公理の話（下記）
ゼルプスト殿下 @tenapyonは、藤田博司先生愛媛大
外部ﾘﾝｸ:togetter.com
「従属選択公理」の検索結果 Togetter
外部ﾘﾝｸ:togetter.com
2014年12月23日 Togetter
【基礎の公理】∈の無限降下列を作るには従属選択公理ではなく可算選択公理があればよいか?
(抜粋)
はかり @mg_toHKR
正則公理と無限降下列の非存在が同値であることを示すのに使ったのは従属選択公理だけど、無限降下列作るなら別に可算無限でいいわけだし可算選択公理でも良いのでは
MarriageTheorem @MarriageTheorem
twitter.com/mg_toHKR/statu… これ、何となく違いそうな気がするけど実際どうなのでしたっけ
ゼルプスト殿下 @tenapyon
@MarriageTheorem 「可算回の選択だから可算選択公理で十分では？」という考えの問題点を指摘するのは簡単ですが、反例があるかというと、それは基礎の公理が破れているのに∈-無限下降列が存在せずそのうえ可算選択公理が成立するモデルなので、容易には用意できませんね
ゼルプスト殿下 @tenapyon
フレンケル・モストフスキ・モデルの方法で基礎の公理の二つのバージョンが同値でないことは示せる気がするので、あとはそのモデルで可算選択公理とが成立しているかどうかですかね。
USB^800 @usb_usb
アイディア：ZF＋可算選択公理＋¬DCのモデルからスタート。<X,R>を¬DCのウィットネスとする。このXは外延的（xとyのpredessor全体が一致したらｘ＝ｙ）と思ってOK.
USB^800 @usb_usb
permutationモデルでもOKだと思うけど、もっと簡単そうな旧版クーネン4章演習１８を使う。VからVへの写像FをXの要素ｘとそのpredessor全体をスワップ、ほかは動かさないようなものとして、aEb ⇔a ∈F(b)で定義する。
USB^800 @usb_usb
一般論として、＜V,E>はZF^-のモデルになる。後は本物の可算選択公理から<V,E>も可算選択公理をみたし、ついでにEの無限降下列は存在しないことがチェックできる、はず。
USB^800 @usb_usb
あ、あともちろん<V,E>では正則性はなりっていないこともチェックできる。
つづく
Twitterﾘﾝｸ:5chan_nel (5ch newer account)
297: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)15:26:20.58 ID:0oc9Ztsl(19/28) AAS
>>294
再度まとめておきます
現代数学の無限の議論で、
１．整列可能定理と関連して、デデキント無限とかの関連で（>>236-238）どこまでの強さの選択公理を採用するか（>>283）の問題がある
可算選択公理＜従属選択公理＜選択公理＜連続体仮説
ですね。決定性公理は、別の系統なのでしょうね
２．レーヴェンハイム-スコーレムの定理に関連して（>>251-252）
一階述語論理に限定するのか？ それとも、二階以上の高階述語論理を採用するのか？
ゲーデル先生ご存命の20世紀前半は一階述語論理全盛で、「二階以上はパラドックスのおそれあり」で忌避されていた傾向あり
ところが、いろいろあって、圏論などもその1つと思うが、「二階以上もやろう」という流れができた
３．あと、逆数学なんて流れもあるようです（「現代数学の全部を網羅する公理系ではなく、分野毎に特化した公理系」なのでしょうかね？）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
逆数学
(抜粋)
逆数学とは、数学の定理の証明に必要な公理を決定しようとする数理論理学のプログラムである。簡単に言えば、通常の数学が公理から定理を導くのとは逆に、「定理から公理を証明する」手法を用いることが特徴である。
「選択公理とツォルンの補題はZF上で同値である」、というような集合論の古典的定理は、逆数学プログラムの予兆となるものだった。しかし、実際の逆数学では主に、集合論の公理ではなく、通常の数学の定理を研究するのを目的とする。
逆数学は大抵の場合、2階算術について実行され、定理が構成的解析と証明論に動機付けられた2階算術の部分体系のうち、どれに対応するのかを研究する。 2階算術を使うことで、再帰理論からの多くの技術も利用できる。
実際、逆数学の結果の多くは、計算可能性解析の結果を反映している。
逆数学は、Harvey Friedman (1975, 1976)によってはじめて言及された。基本文献は(Simpson 2009)を参照。
455(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/22(火)09:06:44.58 ID:u309yKT7(2/3) AAS
>>454
ぼくちゃん、話題そらしに必死ｗ（＾＾
610(1): 2019/12/06(金)06:57:05.58 ID:a5FaM1Ty(1/2) AAS
>>608
＞Zermelo 構成の後者とは、つぎつぎと作られるシングルトンなんですよ。
＞それ以外にはありえない
それが誤り
＞Zermelo 構成で、全ての後者を含む無限集合に、
＞ωに相当する要素があります
＞それは、シングルトンであり、かつ自然数Nの外の要素です
それが誤り
ωに相当する要素はない
Zermelo構成による最初の超限順序数は
全ての有限シングルトンのみを要素とする集合
であり、シングルトンではない
「有限順序数がシングルトンだから
最初の超限順序数もシングルトンだ」
というのは
「任意の自然数nについて(1+1/n)^nが有理数だから
lim(n→∞)(1+1/n)^nも有理数だ」
というのと同じくらい誤った主張です
834: 2019/12/17(火)06:02:14.58 ID:LQIUz6rO(4/12) AAS
>>830
お前が解けよ ばぁかｗ
875: 2019/12/18(水)23:35:58.58 ID:1Iara4Wc(2/10) AAS
てかお前誰？
おっちゃんさんですか？
はじめまして？虹男スレの方から来た嵐と申します(^^)
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