[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論 (1002ﾚｽ)
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78(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/05(土)17:20:19.32 ID:JrhjRl4x(33/46) AAS
>>77
補足
”アレフ0 = ω は自然数全体の濃度であり、選択公理の下で最小の無限基数である．”
なんですよね
そして、アレフ0が、可算無限集合 自然数の濃度なんですよね
外部ﾘﾝｸ[pdf]:konn-san.com
集合論への招待＊
〜実数直線の集合論〜
石井大海
Saturday 4th June, 2016
P2
実は，集合の宇宙はこの順序数に沿ってボトムアップに構成されている，ということがわかります*2)：
*2) これは実際には von Neumann による基礎の公理のお陰で証明出来るので，Cantor らの頃の公理化されていない集合論の定理で
はありません．しかし，こうした生成的な集合観は基礎の公理が提案される以前から集合論者の脳裡にあったものです．
P3
? アレフ0 = ω は自然数全体の濃度であり、選択公理の下で最小の無限基数である．
115: 第六天魔王 ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/06(日)09:04:29.32 ID:zyaquwkF(3/9) AAS
>>112
集積点？ 極限順序数のことか？
そんなもん別にあってもかまわんぞ
極限順序数には直前の元はない
例えばωにはωー1なんてない
つまりω＞ｎとなる元は有限
だから
ω＞ｎ＞ｎ−１・・・２＞１＞０
なる列は必ず有限長
こんな基本的なことも理解できない馬鹿が
超限帰納法とかほざいてたとか、噴飯ものｗｗｗｗｗｗｗ
230(3): 2019/10/10(木)03:44:50.32 ID:64e05J/b(1/5) AAS
>>324
違います。
Zermelo ordinal number なるものが何かまだ誰も定義していません。
Z(0)=0, Z(1)={0}, Z(2)={{}},‥‥
はいいでしょう。
そのように定義したいなら定義してもいいでしょう。
ただしコレもキチンと論理式で定義しないとだめなんですよ。
しかしココまでは難しいけどできるのは確認済みです。
問題になっているのはω番目以降です。
まだだれも
Z(ω), Z(ω+1),‥‥
を定義した人はいません。
基数の全体cardinal numberについては
x:cardinal number :⇔ x:ordinal number ∧ ∀y<x(#y≠#x)
と定義され、
よつて整列順序クラスOrdの部分クラスなので自然に整列順序集合となり、
整列写像: ℵ:Ord→Cardが定義されます。
この対応からCardの超限帰納法を用いる定義
ℵ(0) :=0
ℵ(a+1) := min{x ∈Ord | #x>#a}
ℵ(a) := min{x ∈Ord | #x>#a} (if a is a limit number)
が誘導される事がわかります。
のでこれを定義に用いる事も出来ます。
どちらも大して難しい定義ではないのでどちらを定義に採用する事もあるとは思いますが、
ポイントは超限帰納法で定義するなら後者ℵ(a+1)をℵ(x) (x≦a)で表現するだけではダメでaがlimit numberのときのℵ(a)を定めないと超限帰納法は完成しません。
あなたはaがlimit numberの場合のΩ(a)を論理式を用いて定義しなければなりません。
361: ID:1lEWVa2s 2019/10/13(日)18:21:24.32 ID:BCKVKYa1(17/31) AAS
8000億円じゃなく1.25兆円が消費税5%から8%にした贈幅なのに
417(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/14(月)10:28:37.32 ID:w6tqRMw5(3/8) AAS
>>415 補足
この話は、すでに>>42>>52にモデルを書いておいたが
1)閉区間[0,1]内の数列
0(=1-1/1),1-1/2,1-1/3,・・,1-1/n,・・,(n→∞)1(=1-1/∞)=ω
ができる
2)同様に
閉区間[1,2]内の数列
1(=2-1/1),2-1/2,2-1/3,・・,2-1/n,・・,(n→∞)2=(2-1/∞)=ω
ができる
3)上記1)2)を直結すると
閉区間[0,2]内の数列
0(=1-1/1),1-1/2,1-1/3,・・,1-1/n,・・,(n→∞)1(=1-1/∞)=ω=(=2-1/1),2-1/2,2-1/3,・・,2-1/n,・・,(n→∞)2=(2-1/∞)=ω + ω
ができる
4)要するに、例えば
奇数列 1,3,5,・・・
偶数列 2,4,6,・・・
この2つを直結すると
1,3,5,・・・、2,4,6,・・・になる
これが、3)の閉区間[0,2]内の数列と全単射になり、ω + ωの数列になる
5)で、「1,3,5,・・・、2」から、2→1の”無限降下列”がとれるが、最小元を持つので、正則性公理（＝最小元を持たない）には反しない
QED
420(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/14(月)10:45:21.32 ID:w6tqRMw5(5/8) AAS
>>419
つづき
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
自然数
(抜粋)
形式的な定義
自然数の公理
集合論において標準的となっている自然数の構成は以下の通りである。
空集合を 0 と定義する。
0:=Φ ={}
任意の集合 a の後者は a と {a} の合併集合として定義される。
suc (a):=a ∪ {a}
0 を含み後者関数について閉じている集合のひとつを M とする。
自然数は「後者関数について閉じていて、0 を含む M の部分集合の共通部分」として定義される。
以上の構成は、自然数を表すのに有用で便利そうな定義を選んだひとつの結果であり、他にも自然数の定義は無限にできる。これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。
例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
0 := {}
1 := {0} = {{}}
2 := {1} = {{{}}}
3 := {2} = {{{{}}}}
と非常に単純な自然数になる。
(引用終り)
以上
648: 2019/12/07(土)16:13:07.32 ID:DlHZa83T(4/7) AAS
>>639
>”真の無限降下列をもたない”というのが、正則性の公理
バカに質問
真の無限降下列ではない無限降下列の例を示せ
790: 2019/12/15(日)14:42:47.32 ID:PRdnkv5o(6/16) AAS
>>787
>><Zermelo構成>の場合、ωは最小の可算無限シングルトンになる
>アウト〜
>そもそもωがシングルトンでなければならない道理がまるで無い
その通り
S(x)={x}とすれば、後続順序数の場合、シングルトンになる
し・か・し、ωは後続順序数ではない
したがって、シングルトンである必要がない
無限公理からノイマンのωにあたるツェルメロのΩを構成した場合
Ωはω同様無限集合であってシングルトンではない
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