現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む76

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742: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/09/06(金) 00:40:18.97 ID:x3fmkWer

>>103
遠隔レスだが
「数学的帰納法に反例が存在する」について

１）まず、自然数とは？
　(>>638より)「ZFC公理系において、自然数全体の集合は無限集合の中で最小のものである。（可算集合）」
　別の言葉で、「0から始まる後続者たち、有限順序数を全てからなる集合」ともいえる
　自然数の元は、すべて有限順序数である！！
２）で、いわゆる「数学的帰納法の反例」なるものは、すべて極限n→∞で、有限順序数nの外に出てしまっているのだ
３）例えば、
・逆三角関数で、y＝acrtan(n)を考えると、lim n→∞ acrtan(n)＝π/2 だが、
　任意の有限順序数nで acrtan(n)＜π/2 だ
　（maxとsupの差もご参照）
・無理数が、有理数のコーシー列で定義されるというのも同じ。
　任意の有限順序数nの範囲では、あくまで有理数にすぎない
　（数学的帰納法の反例にはならない）
・あと、昔あったのが、「開集合の無限個の共通部分が１点に潰れて閉集合になる」というのが反例だという
（例えば下記 第3章 位相空間の基礎のキソ Tomoki Kawahira 東工大）
　これも、任意の有限順序数nの範囲では、あくまで共通部分は開集合であって、数学的帰納法の反例にはならない

QED （＾＾

（参考）
https://w.atwiki.jp/mathlec/pages/17.html
講義に関する情報
逆三角関数のグラフとその主な値

https://mathtrain.jp/supmax
高校数学の美しい物語
2016/05/18
sup（上限）とinfの意味，maxとの違い

http://www.math.titech.ac.jp/~kawahira/
Tomoki Kawahira / Department of Mathematics / Tokyo Institute of Technology
http://www.math.titech.ac.jp/~kawahira/courses/kiso.html
多様体の基礎のキソ （仮題）（ver.20170131）
http://www.math.titech.ac.jp/~kawahira/courses/kiso/03-isou.pdf
第3章 位相空間の基礎のキソ（ver.20170131）
(抜粋)
(O2)： 有限個の開集合

ここで，有限個の開集合という条件ははずせない．たとえば，R
2 における無限個の開円板
Bn := {(x, y) ∈ R^2 : x^2 + y^2 < 1/n}(n = 1, 2, . . .)
の共通部分を考えてみるとよい．それは原点ただ一点であり，開集合とはならないのである．
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1566715025/742

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