現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む76

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906: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/09/09(月) 11:13:49.87 ID:w2gV7wtr

>>895
>その直前の”ε0-ordering”については、過去ZFC公理系の話題のときに
>英文で”ε-ordering”、正確には、∈を利用した順序があり読んだけど

過去ログにも引用したと思うが、貼る（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E7%A4%8E%E9%96%A2%E4%BF%82
整礎関係
(抜粋)
数学において、二項関係が整礎（せいそ、英: well-founded）であるとは、真の無限降下列をもたないことである。

帰納法と再帰
整礎関係が興味深い重要な理由は、それによって超限帰納法の一種が考えられることにある。すなわち (X, R) が整礎関係で P(x) が X の元に関する何らかの性質であるときに、 P(x) が X の「すべての」元に対して満たされることを示すには、以下を示せば十分である。

x を X の元とするとき、y R x なる全ての y に対して P(y) が真であるならば P(x) は必ず真である。つまり、

このような整礎帰納法 (well-founded induction) は、エミー・ネーターにちなんでネーター帰納法 (Noetherian induction) とも呼ばれることがある[4]。

例
全順序でない整礎関係の例。
・集合を要素とする任意のクラスの集合要素関係 ∈ 。これは正則性公理そのものである。

その他の性質
(X, <) が整礎関係で x が X の元ならば、x から始まる降鎖列は必ず長さ有限だが、これはこのような降鎖の長さが有界であるということを意味しない。
以下のような例を考えよう。X は正の整数全体の成す集合に、どの整数よりも大きな整数ではない新しい元 ω を付け加えた集合とする。このとき X は整礎だが、ω から始まる長さ有限の降鎖列でいくらでも長いものが取れる。なんとなれば、任意の正整数 n に対して
ω, n ? 1, n ? 2, ..., 2, 1
という鎖は長さ n を持つ。

モストウスキーの崩壊補題 (Mostowski collapse lemma) によれば、集合要素関係 (set membership) は普遍的な整礎関係である。
つまり、クラス X 上の集合的な整礎関係 R に対し、クラス C が存在して、(X, R) が (C, ∈) に同型となる。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1566715025/906

909: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/09/09(月) 13:14:34.31 ID:w2gV7wtr

>>896
>「まあ、その」と「一応は」は削除してください
>誠意が感じられません

一時的にでも、コテハンとトリップ付けたらどう？
名無しさんで、日替わりIDで出没して、誠意を求められてもね。それ、どうなんですかね？
成り済ましとどうやって区別しろとｗ（＾＾

>あなたがPDFを読んでいないことは明らかですね
>「自然数論の真偽の定義」でサーチしただけでは見つかりませんよ

意味わからん
前原PDF（>>802）に、その”定義”が、明記されていないのに、それを読み取れといのか？
話は逆。「自然数論の真偽の定義」という、幻を、あなただけ読んだのでは？
それって、数学？（＾＾

https://www.jstage.jst.go.jp/article/kisoron1954/14/3/14_3_107/_pdf/-char/ja
自然数論 の無 矛盾性証明の必要性
前原昭二 筑波大学数学系 科学基礎論研究 Vol.14 1979

(引用開始)
　「直観主義的自然数論の基礎づけは,
　　上述のような常識的解釈だけでは困難である。
　　”命題の真偽”に,より精密な”定義”を与えることが必要となる。
　　そして,それを実行したのが,ゲソツェンによる
　　"自然数論の無矛盾性証明"である。」
ほら、”命題の真偽”と”定義”が出てきたでしょう。
(引用終り)

１）引用部分が、前原が意図して書いた「自然数論の真偽の定義」ではない。そういう用語は、前原PDFに無い
２）前原「”命題の真偽”に,より精密な”定義”」ですよね、あなた「自然数論の真偽の定義」とは微妙に違うよ
３）「そして,それを実行したのが,ゲソツェンによる"自然数論の無矛盾性証明"である。」とあるのだから
　　ここの、”命題の真偽”は、自然数論（内）の真偽ではなく、外部の広く一般の論理における”真偽”でしょ？
４）「自然数論の真偽の定義」という自分独自の用語には、あなたが自身が定義を与えるべき
　それ（独自説）を他人に読み取れと、強要すべきではないとおもいますよ

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1566715025/909

910: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/09/09(月) 13:16:58.00 ID:w2gV7wtr

>>909
つづき

追伸
・そもそも、”自然数論”の定義というか、それが何を意味するのか？
　前原氏は、狭く、ゲンツェンの1936年の意味で
　「eine Zahlentheorie (純粋な数論)」で、"自然数論"なる用語によって"純粋な数論"を意味することにするとしている
　（なお、「わが国では通常”自然数論"とよび,欧米でも最近はPeano's arithmeticなる用語を当てるようになってきたが,
　自然数論にしてもPeano's arithmeticにしも,いずれも集合論的方法を援用するペアノの自然数論を連想させるので,
　その意味では適切なる訳語とはいえない。」とある）
・一方、新井敏康氏は、P46 4.GentzenとAckermann で
　”G.Gentzen(1936)はfirst order arithmetic, PA(Peano Arithmetic)の無矛盾性証明を得た。
　ここでPAはPRAに,「任意(の自然数)」∀x,「存在」∃x を加え,更に数学的帰納法を任意の(1階の)論理式に適用できるように強化した理論である。
　その証明は「弱い形のε0までの超限帰納法(infinite descent)」を除いて,完全にPRAで遂行された。”
・そして、新井敏康氏PDFでは、「5.　竹内外史以後」「6. modified Hilbert's program」「6.1. Gentzenの場合＊）」「6.2.無矛盾性証明?」
　とつづく。さすれば、新井敏康氏PDFの立場は、狭くゲンツェンの1936年の意味の”自然数論"を超えて
　新井敏康氏は、より高い視点から、数学基礎論を論じたものではないだろうか？
　（数学基礎論が現役であることは認めるが、狭い意味の”自然数論"は、決して現役とは思わないよｗ）

＊）注：新井敏康氏PDFで
6.1. Gentzenの場合　「では何故Gentzenの結果がかつて重要なものと認識された(例p.139in[Kleene 1986])のだろうか?」の一文がある
つまり、前原昭二氏PDFは、1979年当時、「Gentzenの結果がかつて重要なものと認識された」時代のPDFと読めなくもない

そういう意味では、時代が進んで、前原昭二氏PDFが批判的に読まれるべきという主張なら分かる
だが、>>836は、言っている意味がわからんぞ〜ｗ（＾＾
どうぞ、存分に蘊蓄語って下さい
余白が足りないなら、次スレ立てますからｗ（＾＾

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1566715025/910

923: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/09/09(月) 15:59:33.92 ID:w2gV7wtr

>>898
(引用開始)
あなたはなぜ検索しないのですか？
新井氏の研究は、証明論における順序数解析です
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/teacher/tarai.html
証明論で扱う体系の中に当然自然数論も含まれます
論理学者で、自然数論について知らない人はいませんよ　
論理学における一般常識ですから
(引用終り)

笑えます。そのURLを開くと、下記
「研究分野 数学基礎論」「著書 数学基礎論　岩波書店(2011)」とあるじゃないですか！ｗ
「学会 科学基礎論学会」
「自然数論」という言葉は出てこないｗ（＾＾
「基礎論」でしょ！ｗ

https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/teacher/tarai.html
新 井 敏 康　(ARAI Toshiyasu)
講　　　座 離散数理学大講座　教授
研究分野 数学基礎論
研究テーマ
証明論
研究概要
証明論は数学における証明を対象にしています。その中で主に順序数解析を研究しています。これは公理系に対して順序数を結びつけてその公理系の内部に潜む構造を解き明かそうとする分野です。

主要論文
Intuitionistic fixed point theories over set theories,Arch. Math Logic 54(2015), 531-553
Lifting proof theory to the countable ordinals: Zermelo-Fraenkel set theory,Jour. Symb. Logic 79(2014), 325-354
Proof theory of weak compactness, Jour. Math. Logic 13(2013), 1350003
Proof theories of ordinals I: recursively Mahlo ordinals, Ann. Pure Appl. Logic 122(2003), 1-85
Ordinal diagrams for recursively Mahlo universes, Arch. Math. Logic 39(2000), 353-391
著書 計算とは何か　東京図書(2009)（新井紀子と共著）
数学基礎論　岩波書店(2011)
集合・論理と位相　東京図書(2016)
学会 日本数学会、 Association for Symbolic Logic、 科学基礎論学会
受賞 日本数学会秋季賞(2003)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1566715025/923

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