[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む75 (1002ﾚｽ)
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9(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/08/15(木)22:46 ID:brP98meI(9/17) AAS
多分、おれが書いている程度は
東大京大のトップなら三日で抜かれるだろうが
底辺私大の落ちこぼれなら、これでも通用するかもね（＾＾
非アルキメデス距離のお話は、確か高校で、青チャートのコラムだったか、大学への数学だったかで読んだ記憶がある
半ページか１ページ程度のコラムで、アルキメデス距離と異なる考えがあるみたいなお話だったね
「面白いな」と思ったので、記憶に残っている
その後、大学でも何度かお目にかかったし
就職してからも、同様に何度かお目にかかった
p-進数の話は、正直私ら今でも違和感あるけどね（＾＾
そこらが、東大京大のトップクラスとの差だろうね
（参考）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
超距離空間
(抜粋)
数学において超距離空間（ちょうきょりくうかん、英: ultra-metric space）とは、三角不等式が
d(x,y)<= max {d(x,z),d(z,y)}
で置き換えられるような特殊な距離空間のことをいう。対応する距離函数はしばしば非アルキメデス距離や super-metric などとも呼ばれる。
超距離空間に対するいくつかの定理は、第一印象では奇妙に感じられるかも知れないが、多くの応用の場面において自然に現れるものである。
性質
上述の定義により、超距離のもつ典型的な性質をいくつか導くことができる。以下、中心 x, 半径 r の（開）球体を
B(x;r)={y∈ M｜ d(x,y)<r}
と書く（距離空間の項目を参照）。また、閉球体は右辺の < を <= で置き換えたものである。
つづく
10(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/08/15(木)22:47 ID:brP98meI(10/17) AAS
>>9
つづき
例えば、超距離空間 M において以下が成り立つ:
x, y, z ∈ M および r, s ∈ R は任意として、
・すべての三角形は鋭二等辺三角形か正三角形である: d(x,y)=d(y,z) ∨ d(x,z)=d(y,z) ∨ d(x,y)=d(z,x).
・球体の任意の内点はその球体の中心である: d(x,y)<r ⇒ B(x;r)=B(y;r).
・二つの球体が交わるならば、必ず一方が他方に包含される: B(x;r) ∩ B(y;s)≠ Φ ⇒ B(x;r) ⊆ B(y;s) ∨ B(y;s) ⊆ B(x;r).
・任意の球体は、距離函数の誘導する位相に関して、開かつ閉集合である。すなわち、開球体は閉でもあり、閉球体は開でもある。
・半径 r > 0 の与えられた閉球体に中心を持つ半径 r の開球体全体の成す集合は、与えられた閉球体の分割を成す。またこのとき、二つの異なる開球体同士の距離はやはり r に等しい。
これらの内容を証明するのはよい勉強になる[2]。
それらはすべて、超距離不等式から導かれる。
第二の内容より、球は距離が非ゼロであるようないくつかの中心点を持ちうることに注意されたい。
そのような奇妙に思われる結果を直感的に説明する鍵は、強三角不等式により、超距離における距離は足し上げられることがないという事実である。
つづく
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