[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む75 (1002ﾚｽ)
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310(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/08/18(日)07:17 ID:CwMq/yUw(1/25) AAS
>>198
>∞は、｛ や ｝の数が2^∞になるぅ
>可算無限個を定義するのに、
>非可算無限個の｛｝を必要となんて、
>滅茶苦茶な気がする。
Ω星人さん、どうも。スレ主です。
地球では、下記wikipediaより
”例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
3 := {2} = {{{{}}}}
と非常に単純な自然数になる。”
らしい。
可算個の｛｝で済むらしい（＾＾
（参考）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
自然数
(抜粋)
形式的な定義
集合論において標準的となっている自然数の構成は以下の通りである。
このとき、それぞれの自然数は、その数より小さい自然数全てを要素とする数の集合、となる。
0 := {}
1 := suc(0) = {0} = {{}}
2 := suc(1) = {0, 1} = {0, {0}} = { {}, {{}} }
3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = { {}, {{}}, { {}, {{}} } }
等々である[3]。
以上の構成は、自然数を表すのに有用で便利そうな定義を選んだひとつの結果であり、他にも自然数の定義は無限にできる。これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。
例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
0 := {}
1 := {0} = {{}}
2 := {1} = {{{}}}
3 := {2} = {{{{}}}}
と非常に単純な自然数になる。
また、0 := {{}}, suc(a) := a ∪ {a} と定義したならば、
0 := {{}}
1 := {{}, 0} = {{}, {{}}}
2 := {{}, 0, 1} = {{}, {{}}, {{},{{}}} }
3 := {{}, 0, 1, 2} = {{}, {{}}, {{},{{}}}, {{},{{}},{{},{{}}}} }
のような多少複雑な自然数になる。
311(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/08/18(日)07:36 ID:CwMq/yUw(2/25) AAS
>>310
追加参考
外部ﾘﾝｸ[php]:padic.wicurio.com
Encyclopedia of P-adic Numbers
Top > ２元集合の存在
(抜粋)
ここまでで空集合という集合が存在することが保証されました。
しかし、現在課されている公理だけでは空集合以外の集合の存在が原理的に証明出来ません。
そこで、空集合以外の集合の存在を保証する公理を１つ課そうと思います。
公理1（対公理）
２つの任意の集合aとbに対し、クラス{x?(x=a)∨(x=b)}は集合である。
命題4（空集合でない集合の存在）
以下の集合はいずれも互いに相異なる。
Φ,{Φ},{{Φ}},{{{Φ}}},{{{{Φ}}}}
証明
Φ not∈ΦかつΦ∈{Φ}より、Φ≠{Φ}である。
{Φ}not ∈Φかつ{Φ}∈{{Φ}}より、Φ≠{{Φ}}である。
略
この辺りがスラスラと厳密に証明できるようになっていれば、等号の扱いに問題がないと言って良いでしょう。
外部ﾘﾝｸ[php]:padic.wicurio.com
Encyclopedia of P-adic Numbers
Top > 自然数の定義
(抜粋)
公理3（無限公理）
ある集合Nが存在して、0∈Nでありかつ任意のn∈Nに対してn∪{n}∈Nを満たす。
無限公理によって、Nは集合をなします。
これで一安心、と言いたいところですが、共通部分を用いて最小性を保証しただけのNが、一体どんな集合なのかは少々分かりにくいです。
そこで、Nという集合の特徴付けや基本性質を以下にまとめました。
コラム 数学的帰納法
コラム 自然数と順序数
コラム 順序数の三分律
コラム Nの特徴付け
コラム 超限帰納法
324(1): 2019/08/18(日)09:27 ID:K18skXTH(4/25) AAS
>>310
0 := {{}}, suc(a) := a ∪ {a} と定義しても
自然数全体の集合ωの{}は可算個
在阪朝鮮人には死んでも分かるまいがねｗｗｗｗｗｗｗ
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