現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む75

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85: １３２人目の素数さん [sage] 2019/08/16(金) 11:48:38.48 ID:pUzim9A1

>>84
つづき

測度と確率
カントール集合は二進列全体の成すコンパクト群と見なせるから、自然なハール測度を備えている。カントール集合全体の測度を 1 に正規化するとき、それをコイントスの無限列のモデルとすることができる。
さらに言えば、区間上の通常のルベーグ測度がカントール集合上のハール測度の像となることが示せる。他方、三進集合への自然な埋め込みでは特異測度の標準例となる。あるいはまた、このハール測度がカントール集合を適当な仕方で普遍確率空間とする任意の確率測度の像となることも示せる。
ルベーグ測度論において、カントール集合は非可算な零集合の例を与える[22]。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%BC%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93
カントール空間
(抜粋)
カントール集合に同相な位相空間をカントール空間と呼ぶ。集合論においては、位相空間 2^ω（ω は最小の無限順序数）を「一意な」 ("the") カントール空間と呼ぶ。
注意点として、ふつうは 2^ω を単にカントール集合と呼び、カントール空間という語はより一般の DS の構成のために用いる（ここで D は有限集合、S は大抵有限か可算だが非可算にもなり得る）[1]。

カントール集合それ自体もカントール空間であるが、カントール空間の標準的な例は離散二点空間（英語版） {0, 1} の可算無限直積位相空間である。これをふつう 2^N とか 2^ω と書く（ここでの 2 は二点集合 {0, 1} に離散位相を入れたものを表している）。
2^ω の各点は無限二値列（0 か 1 のどちらかの値しかとらない列）である。そのような列 a0, a1, a2, … を実数
Σn=0～∞ 2an/(3^(n+1))
へ写す写像は 2^ω からカントール集合への同相写像を与えるから、それにより 2^ω が実際にカントール空間となることが示せたことになる。

特徴付け
カントール空間の位相的特徴付けはブラウウェルによって与えられた:[2]

定理 (L. Brouwer)
任意の二つの空でないコンパクトハウスドルフ空間は、それが孤立点を持たず、かつ開かつ閉集合からなる可算基底を持つならば、それらは互いに同相である。

開かつ閉集合からなる基底を持つという位相的性質は零次元と呼ばれる。ブラウウェルの定理は以下のように言い換えられる:

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1565872684/85

132: １３２人目の素数さん [sage] 2019/08/16(金) 18:35:40.24 ID:pUzim9A1

>>119
>＞「数は、たった二つの場合で終わりかい？」
>実はそれ以外の（非可算無限個の）数を考える必要はないｗ

おやおや、おサルの数学は面白ね

そもそもは
おサル（>>21より）
＞・３進カントール集合を[0,1]と同相にする簡単な方法は？
だった

で
おサル（>>92より）
(引用開始)
ま、スレ主には無理だろうから答えを書く
「ある箇所から
　０２２２・・・
　２０００・・・
　となる２つの３進小数をくっつけて１つにする」
これだけｗ
(引用終り)

おれは（>>117より）
おサルの数学では
数は、たった二つの場合で終わりかい？

おれは、>>81-82　>>84-85に書いたけど
”まあ、下記カントール集合 「閉区間 [0, 1] に属する実数のうち、その三進展開のどの桁にも 1 が含まれないような表示ができるもの全体からなる集合である」
「”測度と確率
カントール集合は二進列全体の成すコンパクト群と見なせる」から、「それをコイントスの無限列のモデルとすることができる」
とあるよ
一方で、閉区間 [0, 1] に属する実数を二進列全体の成す集合とみなせる
だから、対応がつくという話しをしたいんだろうね、おサルさんはｗ（＾＾”

で
ここを、おサルに分かるように説明するよ
実数の区間[0,1]には
１）有限小数（有理数）
２）循環小数（有理数で無限小数）
３）非循環小数（無理数で無限小数）
の３つに大別される
（含む二進展開及び三進展開の場合）

”「ある箇所から
　０２２２・・・
　２０００・・・
　となる２つの３進小数をくっつけて１つにする」
これだけｗ”

なんだけどね
”１）有限小数（有理数）”と”１）有限小数（有理数）”の二つはできるかも知れないけど
”３）非循環小数（無理数で無限小数）”は、どうするの？ 三進展開でだが
三進展開で、無理数で無限小数（非循環）は、どうなっているの？

まあ、おサルの数学では、無理数で無限小数（非循環）は考えないんだねｗ
おサルだからな～ｗ（＾＾
まあ、幼稚園児並の知能だからなーｗ（＾＾；
難しいよね～ｗ

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1565872684/132

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