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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む75 (1002ﾚｽ)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む75 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1565872684/
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14: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/08/15(木) 23:28:30.28 ID:brP98meI >>13 つづき ハウスドルフ空間ではこれらは全て同値になる。 (0) はここでの定義であり、この中で一番弱く (1)、(2)、(3) は (0) を含意している。 (3) はこの中で一番強く (0)、(1)、(2) を含意している。 無限集合に補有限位相を入れたものは (0)、(1)、(2) を満たすが (3) を満たさない。 有理数体 Q の一点コンパクト化（英語版）は (0)、(1) を満たすが (2)、(3) を満たさない。 自然数全体 N0 に「開 ⇔ 0を含む又は空」となる位相を入れた空間は (0)、(2) を満たすが (1)、(3) を満たさない。 前述の例の２つ目と３つ目の空間の直和は (0) を満たすが (1)、(2)、(3) を満たさない。 例とそうでない例 コンパクトハウスドルフな例 任意のコンパクトハウスドルフ空間はもちろん局所コンパクトであり、コンパクト空間の例はコンパクト空間の項目へ詳細を譲るがここでは ・単位閉区間 [0,1]; ・任意の閉位相多様体; ・カントール集合; ・ヒルベルト立方体 などを挙げておこう。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1565872684/14
15: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/08/15(木) 23:28:56.73 ID:brP98meI >>14 つづき コンパクトでない局所コンパクトハウスドルフ空間の例 ・p-進数の空間 Qp は、カントール集合から一点を除いたものに同相ゆえ、局所コンパクトである。従って、局所コンパクト空間は古典的な解析学におけると同様に p-進解析においても有用である。 ハウスドルフだが局所コンパクトにならない例 後の節において述べるとおり、ハウスドルフ空間が局所コンパクトならば、それは必ずチホノフ（英語版） である（チホノフでないハウスドルフ空間の例については該当の項を参照のこと）が、逆に局所コンパクトでないようなチホノフ空間の例は存在する。 ・有理数の空間 Q（に R の通常の位相からの相対位相を入れたもの）は、その任意のコンパクト部分集合が内点を持たないから、それをコンパクト近傍として持つ点も存在しない。 ハウスドルフでない局所コンパクト空間の例 ・有理数の空間 Q の一点コンパクト化（英語版）はコンパクトゆえ、各点が（閉）近傍を持つという意味では局所コンパクトだが、コンパクト近傍からなる近傍基を持つという意味での局所コンパクト性は持たない。 (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1565872684/15
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