[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む75 (1002ﾚｽ)
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310(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/08/18(日)07:17 ID:CwMq/yUw(1/25) AAS
>>198
>∞は、｛ や ｝の数が2^∞になるぅ
>可算無限個を定義するのに、
>非可算無限個の｛｝を必要となんて、
>滅茶苦茶な気がする。
Ω星人さん、どうも。スレ主です。
地球では、下記wikipediaより
”例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
3 := {2} = {{{{}}}}
と非常に単純な自然数になる。”
らしい。
可算個の｛｝で済むらしい（＾＾
（参考）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
自然数
(抜粋)
形式的な定義
集合論において標準的となっている自然数の構成は以下の通りである。
このとき、それぞれの自然数は、その数より小さい自然数全てを要素とする数の集合、となる。
0 := {}
1 := suc(0) = {0} = {{}}
2 := suc(1) = {0, 1} = {0, {0}} = { {}, {{}} }
3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = { {}, {{}}, { {}, {{}} } }
等々である[3]。
以上の構成は、自然数を表すのに有用で便利そうな定義を選んだひとつの結果であり、他にも自然数の定義は無限にできる。これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。
例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
0 := {}
1 := {0} = {{}}
2 := {1} = {{{}}}
3 := {2} = {{{{}}}}
と非常に単純な自然数になる。
また、0 := {{}}, suc(a) := a ∪ {a} と定義したならば、
0 := {{}}
1 := {{}, 0} = {{}, {{}}}
2 := {{}, 0, 1} = {{}, {{}}, {{},{{}}} }
3 := {{}, 0, 1, 2} = {{}, {{}}, {{},{{}}}, {{},{{}},{{},{{}}}} }
のような多少複雑な自然数になる。
311(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/08/18(日)07:36 ID:CwMq/yUw(2/25) AAS
>>310
追加参考
外部ﾘﾝｸ[php]:padic.wicurio.com
Encyclopedia of P-adic Numbers
Top > ２元集合の存在
(抜粋)
ここまでで空集合という集合が存在することが保証されました。
しかし、現在課されている公理だけでは空集合以外の集合の存在が原理的に証明出来ません。
そこで、空集合以外の集合の存在を保証する公理を１つ課そうと思います。
公理1（対公理）
２つの任意の集合aとbに対し、クラス{x?(x=a)∨(x=b)}は集合である。
命題4（空集合でない集合の存在）
以下の集合はいずれも互いに相異なる。
Φ,{Φ},{{Φ}},{{{Φ}}},{{{{Φ}}}}
証明
Φ not∈ΦかつΦ∈{Φ}より、Φ≠{Φ}である。
{Φ}not ∈Φかつ{Φ}∈{{Φ}}より、Φ≠{{Φ}}である。
略
この辺りがスラスラと厳密に証明できるようになっていれば、等号の扱いに問題がないと言って良いでしょう。
外部ﾘﾝｸ[php]:padic.wicurio.com
Encyclopedia of P-adic Numbers
Top > 自然数の定義
(抜粋)
公理3（無限公理）
ある集合Nが存在して、0∈Nでありかつ任意のn∈Nに対してn∪{n}∈Nを満たす。
無限公理によって、Nは集合をなします。
これで一安心、と言いたいところですが、共通部分を用いて最小性を保証しただけのNが、一体どんな集合なのかは少々分かりにくいです。
そこで、Nという集合の特徴付けや基本性質を以下にまとめました。
コラム 数学的帰納法
コラム 自然数と順序数
コラム 順序数の三分律
コラム Nの特徴付け
コラム 超限帰納法
312(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/08/18(日)08:07 ID:CwMq/yUw(3/25) AAS
>>249 追加
おっちゃん、どうも、スレ主です。
文献読まないだろうが、メモ貼る
（ζ 関数 (第 III 部) が見つからないが（＾＾； ）
（メモ）
外部ﾘﾝｸ[html]:www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp
広島大学理学部数学科 代数数理講座
都築暢夫
2005年度
数学概論:講義ノート,
代数学D・代数数理基礎講義B:講義ノート1, 講義ノート2
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp
平成 17 年度後期代数学 D・代数学基礎講義 B
都築 暢夫
第 I 部 ζ 関数の解析的性質
(抜粋)
ζ(s) は s = 1 に 1 位の極を持つ全平面上の有理型関数に解析接続され、関数等式を持
ち、素数の分布と密接な関係を持つ。それらの性質を解説するのが第 I 部の目的である。
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp
平成 17 年度後期代数学 D・代数学基礎講義 B
都築 暢夫
第 II 部 代数体の整数論
(抜粋)
第 II 部では、代数体の整数論、中でも代数体の整数環が Dedekind 環になることを証明する。一般に代数
体の整数環においては、素因数分解の一意性が成り立たない。しかし、イデアル分解に概念を拡張させると
素イデアル分解の一意性が成り立つ。この事実を利用して、Riemann ζ 関数は、自然に代数体の Dedekind
ζ 関数 (第 III 部) へ拡張される。
313: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/08/18(日)08:20 ID:CwMq/yUw(4/25) AAS
>>311 追加
ここらは、スレ60からスレ61で大分議論した記憶があるね
例えば
スレ61 2chｽﾚ:math
Kunen, Kenneth (1980), Set TheoryのPDFなど見つけたんだよね
これは、藤田 博司先生の日本語版を持っている人には役に立つだろう（＾＾
スレ61 2chｽﾚ:math
(抜粋)
Kunen, Kenneth (1980), Set Theory: An Introduction to Independence Proofs, Elsevier, ISBN 978-0-444-86839-8
検索すると、海賊版かもしらんが、下記PDFヒット
これ、しばしばお世話になっている藤田 博司先生の和訳があるかな？
外部ﾘﾝｸ[pdf]:blacaman.tripod.com
An Introduction to Independence Proofs K KUNEN 著 First edition: 1980 Seventh impression: 1999
外部ﾘﾝｸ:www.amazoｎ.co.jp/dp/4535783829/ref=pd_lpo_sbs_14_t_1?_encoding=UTF8&psc=1&refRID=8NKTZE2Q63MR3BRQEWQX
集合論―独立性証明への案内 単行本 ? 2008/1/1
(抜粋)
ケネス キューネン (著), Kenneth Kunen (原著), 藤田 博司 (翻訳)
ナラバ博士
5つ星のうち5.0
第２章の章末問題はとくに面白い
2009年4月5日
形式: 単行本
集合論のうち，とくに２０世紀第３四半期における強制法（フォーシング）の研究に焦点をあてた入門書である。
数学科（数理科学コース）の１・２年向けの集合論の授業では，数学全分野のための予備知識として１９世紀後半の集合論を扱うのがふつうであろう。
本書が扱うのはより高度な話題である。原書は研究分野としての集合論への入門書として評価が高い。
評者は大学院修士課程１年生のときに原書を通読した。
強制法への伏線として第２章でマーティンの公理を扱っており，この章の章末問題には面白いものが多いと感じた。
時間をかけて翻訳した本書の訳は大変読みやすく，ところどころに親切な訳注が添えられている。
315(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/08/18(日)08:43 ID:CwMq/yUw(5/25) AAS
>>306-307 補足
この程度のことは（確率空間、確率変数）は、確率過程論から自明で
Sergiu Hart氏も当然知っている。「２．箱がｎ個。確率変数X1,X2,・・・,Xn」までは、書いている
さらに、当然「３．箱が可算無限個。確率変数X1,X2,・・・ →X∞」も知っているが、書かなかったのだろう（＾＾；
（参考）
スレ62 2chｽﾚ:math
(抜粋)
915 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2019/03/27(水)
Sergiu Hart氏のPDF 外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.ma.huji.ac.il
このP2に
Remark. When the number of boxes is finite Player 1 can guarantee a win
with probability 1 in game1, and with probability 9/10 in game2, by choosing
the xi independently and uniformly on [0, 1] and {0, 1, ・・・, 9}, respectively.
とある
ここで”independently and uniformly”が、独立同分布（IID)を含意することは、知る人がみればすぐ分かること
で、例えば、{0, 1, ・・・, 9}ならば、的中確率は、1/10(for Player 2)(つまり、出題者Player 1は、確率9/10で勝てる)
つまり、独立同分布（IID)を仮定すれば、どの箱も同じで、例外はない
game1（選択公理を使う）→game2（選択公理を使わない）→boxes is finite （有限の場合は通常確率論通り）
と並べて説明している
まあ、落語の落ちですね。最後”boxes is finite （有限の場合は通常確率論通り）”ですから
ま、確率過程論の知識がある人（落ちこぼれ以外の数学科卒生）なら、独立同分布（IID)で、箱が有限及び無限とも同じ結論になる（通常確率論通り）は自明だし
それは、確率過程論について、上記（>>912）重川先生とか逆瀬川先生（下記）を読めば分かる。読めなければ、時枝不成立は分からないでしょうね〜（＾＾
しかし、このスレで私が確率過程論をするわけにはいかない。このスレの余白は狭すぎるｗ（＾＾
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.f.waseda.jp
「確率過程とその応用」管理人 逆瀬川浩孝 早稲田大学
317: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/08/18(日)08:52 ID:CwMq/yUw(6/25) AAS
>>315 補足
＞ここで”independently and uniformly”が、独立同分布（IID)を含意することは、知る人がみればすぐ分かること
いま思うと
「独立同分布（IID」という重要キーワードをわざと
”independently and uniformly”にして
はぐらかしている気もしてきたな〜（＾＾
318(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/08/18(日)08:56 ID:CwMq/yUw(7/25) AAS
哀れな素人さん、どうも。スレ主です。
>>314
それにしてもスレ主が大量のコピペを貼りまくるので、
このスレに来るといつも動きが鈍くなって、
投稿するのも一苦労だ(笑
スレ主よ、投稿をもっと短くしろ(笑
(引用終り)
コピペしていると、google検索で、いろんなキーワードでヒットします
なので、自分で「どっかあったな」と検索するときに便利です
かつ、他人も、google検索したら、このガロアスレがヒットことも多い
そういう仕掛けです（＾＾；
320(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/08/18(日)09:15 ID:CwMq/yUw(8/25) AAS
>>316
>「「空集合は任意の集合の部分集合である」というインチキ」という記事を追加した
下記の話ですか？（＾＾
これは、完全に宗教でしょ？
「空集合の定義」次第でしょうね
「無限の定義」と対でしょうね
「神は細部に宿る」でしょうかねｗ（＾＾；
外部ﾘﾝｸ:blog.thetheorier.com
空集合はなぜ任意の集合の部分集合なのか もう一人のＹ君 20160429
(抜粋)
目次
空集合の定義
部分集合の定義
何を示せば良いか
(ちょっと脱線)推論図について
矛盾の性質
まとめ
(引用終り)
外部ﾘﾝｸ:co-world.me
「神は細部に宿る」の、仕事における本当の意味 Ｃｏの世界 2017/11/1 2018/3/28
(抜粋)
INDEX
「神は細部に宿る」という言葉、知っていますか？
「神は細部に宿る」を理解できなかった新卒時代
ヤフーの新卒研修の時に初めて「神は細部に宿る」という言葉を聞きました
そのお話をしてくださったのか森岡康一さんでした
当時はPS本部という横断部署があり、そこで部長だった森岡さん
しばらくしてからヤフー辞めてFacebookの日本法人へ行き、現在はKDDIのSyn.構想の立役者です
そんな方のお話を聞けただなんて、今思えばとても贅沢な話です
森岡さんはひたすらに「神は細部に宿る」ということを熱弁されてました
だから細かいところにまで気を配らないといけない、と
外部ﾘﾝｸ:japan.cnet.com
「Syn.」構想の失敗から得たもの KDDI傘下Supership、データ活用で14兆円市場狙う 笹田仁20181012 CNET Japan
(抜粋)
「Syn.」構想の失敗から得たもの
前身は、「Syn.（シンドット）ホールディングス」。2014年10月に、スマホ時代の“中心のない”ポータル「Syn.」構想を掲げ、互いに連携する多様なサービスを提供していた会社だ。しかし、サービスの利用者数が伸び悩み、2018年7月9日にはSyn.関連サービスを終了させた
代表取締役CEOを務める森岡康一氏は、「Syn.構想は大きなものだったが、サービスを提供する各社の足並みがそろわず、構想が先走りしてしまった。その結果ユーザーをあまり獲得できなかった」と反省しながらも、「失敗から得るものもあった。そのような意味では良いチャレンジだった」と振り返った
332: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/08/18(日)09:44 ID:CwMq/yUw(9/25) AAS
>>330
哀れな素人さん、どうも。スレ主です。
＞依然として時枝成立と自信満々に思っている池沼(笑
この部分だけ同意です（＾＾
339: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/08/18(日)10:26 ID:CwMq/yUw(10/25) AAS
>>320
>外部ﾘﾝｸ:blog.thetheorier.com
>空集合はなぜ任意の集合の部分集合なのか もう一人のＹ君 20160429
これ読んでみたけど
けっこう無茶苦茶書いていて、まさに宗教ですな（＾＾；
まあ、”空集合はなぜ任意の集合の部分集合なのか”について
>>311の
外部ﾘﾝｸ[php]:padic.wicurio.com
Encyclopedia of P-adic Numbers
Top > 自然数の定義
から
”定義1（１桁の自然数の定義）
0:=Φ 1:=0∪{0} 2:=1∪{1} 3:=2∪{2} 4:=3∪{3}
5:=4∪{4} 6:=5∪{5} 7:=6∪{6} 8:=7∪{7} 9:=8∪{8}
空集合の存在公理から0は集合であり、また任意の集合Sに対してS∪{S}が集合をなすことから、上で定義した0から9までの記号は全て集合を表します。
この定義の良いところの１つは、0の要素が０個、1の要素が１個、2の要素が２個、3の要素が３個、のように元の「個数」がその自然数の記号と一致していることです。”
を採用します。
そして、自然数の和が普通に定義されたとします（ぐだぐだ書きません）
（簡単にいうと、和集合として定義されるとします）
任意の自然数nに対して、
n＋0＝n
和集合で書くと
n∪Φ＝n
数学ではよく使う頻出テクニックで
n∪Φ＝nは
n∪Φ→n
n∪Φ←n
です
n→ n＝n∪Φ → Φ⊂ｎ
です
つまり、任意の自然数nには、必ず空集合Φを含むまでは言えました
同じ要領で、
任意の集合Aに対して、A∪Φ＝A
が言えるので、A→ A＝A∪Φ → Φ⊂A
が分り易いかな（＾＾
下記の背理法もよく見ますが、なんだかなー
外部ﾘﾝｸ[html]:herb.h.kobe-u.ac.jp
1.4 空集合 TAKAHASHI Makoto
(抜粋)
定理 1.51
空集合は任意の集合の部分集合である．すなわち，任意の集合 Aに対し， Φ ⊆ Aが成り立つ．
証明： 背理法で示す．
Φ ⊆ Aとなる集合 Aが存在したとする．
このとき， x ∈ Φ ∧ x not∈ Aとなる元 x が存在することになるが，これは空集合の定義に反する．
よって，任意の集合 Aに対し， Φ ⊆ Aが成り立つ．
341: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/08/18(日)10:29 ID:CwMq/yUw(11/25) AAS
>>334
＞やれやれ。わざわざ相手してやってる俺もアホかな。ｗｗ
まあ、ほどほどによろしく（＾＾
＞超限順序数は、suc ではなく、 sup で得られる。
なるほどなるほど
確かに
あと、無限公理も使うかも（＾＾
＞昨日も書いたが、君の論法は帰納法が機能してないんだよ。ｗｗ
”帰納法が機能してない”は、おやじギャグですなｗ
342(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/08/18(日)10:39 ID:CwMq/yUw(12/25) AAS
>>340
哀れな素人さん、どうも。スレ主です。
(引用開始)
なぜならあらゆる同値類を用意しておかなければ、
プレーヤー１が完全にデタラメに作成する実数列の
同値類を見つけることなどできないからだ。
(引用終り)
そうそう、そうですそうです
そして、それが全部できたとしても
あるD番目の箱以外の箱を全部開けても
同値類中から、プレーヤー１が作成する完全にデタラメな実数列に対して
完全に一致する代表を選ぶ確率は、０（＝1/∞（1/非可算 ∵rDは非可算だから））
です（＾＾
343: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/08/18(日)10:43 ID:CwMq/yUw(13/25) AAS
>>322
哀れな素人さん、どうも。スレ主です。
＞これはサル石(笑
＞メンタルが弱いというか、未熟で幼稚な不良中二男である(笑
私の見解は、完全にキチガイサイコパスです
殺人願望フンプンの男です（>>2ご参照）
344: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/08/18(日)11:24 ID:CwMq/yUw(14/25) AAS
>>333
哀れな素人さん、どうも。スレ主です。
＞なぜなら僕はサル石を叩くためにここにいるからだ(笑
はい、よろしくお願いします（＾＾；
なんせ、哀れな素人さんにとっては、市川秀志氏のブログから相手ですからね（＾＾
哀れな素人さんが、サルの生息地 市川秀志氏のブログを教えて貰ったことをありがたく存じます。
あれを読んで、ああ、こいつはキチガイサイコパスだと、すぐ分りました（＾＾
345(6): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/08/18(日)11:33 ID:CwMq/yUw(15/25) AAS
＜時枝記事＞
おサルは、妄想>>329＆>>296だけで、裏付けはおサルの脳内のみ
おれの主張>>306-307には、現代数学の確率論・確率過程論の裏付けがある（例えば>>179など）
そして、この程度の確率論・確率過程論の知識は、大学数学科4年程度で修得するから、
このレベルに達すると、時枝記事不成立は分る。このレベルに達しないおサルが騒ぐだけ（＾＾
（>>306-307より）
確率空間、ほいよ>>199より
これ、i.i.d. 独立同分布に尽きる気がします
（説明）
１．箱が1個。確率変数X1
サイコロ，コインなら、確率空間は、下記の定義の通り。
サイコロΩ={1,2,3,4,5,6}で、1〜6の数が箱に入り、各確率1/6
コイン１枚なら、Ω={0,1}で、0か1の数が箱に入り、各確率1/2
２．箱がｎ個。確率変数X1,X2,・・・,Xn
i.i.d. 独立同分布とすると、各箱は上記1の通り
３．箱が可算無限個。確率変数X1,X2,・・・ →X∞
i.i.d. 独立同分布とすると、各箱は上記1の通り
４．時枝は、これで尽きている。上記１〜３のどの箱の確率変数も例外なし！
QED（＾＾
外部ﾘﾝｸ:mathtrain.jp
確率空間の定義と具体例（サイコロ，コイン） | 高校数学の美し物語 2015/11/06
347(9): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/08/18(日)12:47 ID:CwMq/yUw(16/25) AAS
>>345 補足
ここに書いた１〜３は
Alexander Pruss氏にしろ、Tony Huynh氏にしろ、Sergiu Hart氏にしろ
当然既知だよ
一方、Denisは分ってない
１〜３という共通基盤のないDenis氏、
それが分ったので彼との議論は、時間の無駄とAlexander Pruss氏は思ったろう
現代数学の確率論・確率過程論を一から説くには、時間がかかりすぎるからね
外部ﾘﾝｸ:mathoverflow.net
Probabilities in a riddle involving axiom of choice asked Dec 9 '13 at 16:16 Denis
(抜粋)
（Alexander Pruss氏）
（Tony Huynh氏）
Sergiu Hart氏 PDF 外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.ma.huji.ac.il
361: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/08/18(日)17:31 ID:CwMq/yUw(17/25) AAS
>>358
どもです
おサルのお相手お疲れ
＞{{}}による自然数の構成など、非本質的だということだ。
＞集合論を公理的に展開するための便利な技術というだけ。
＞無限集合の存在の本質とは全く関係ない。
そりゃそうですな
ユークリッドの幾何原論も、形式的には、公理→定理という形だが
実際は、いろんな幾何の知識が先にあって、公理→定理という形にまとめた
20世紀初頭の現代数学における集合論をベースにした公理化の動きは
もともとは、無限を扱うパラドックスを克服しようとしたもので
それまで知られていた、膨大な数学の成果が、公理→定理という形で包含できないと意味がない
そのためには、必要な公理はいくらでも追加しなければいけない
しかし、公理はできるだけ少ない方が良い
その中で、無限公理は必須（＝外せない）となった
無限公理なくして無限集合なしってことでしょう（＾＾
366(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/08/18(日)18:58 ID:CwMq/yUw(18/25) AAS
>>362
>>そもそも無限集合の存在に、本質もクソもない
>>存在しないという公理もありだし
>>存在するという公理もありだ
>これがお前の限界なんだよ。ｗｗ
レベル高いね。これか（＾＾
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
レーヴェンハイム?スコーレムの定理
(抜粋)
レーヴェンハイム?スコーレムの定理（英: Lowenheim?Skolem theorem）とは、可算な一階の理論が無限モデルを持つとき、全ての無限濃度 K について大きさ K のモデルを持つ、という数理論理学の定理である。
そこから、一階の理論はその無限モデルの濃度を制御できない、そして無限モデルを持つ一階の理論は同型の違いを除いてちょうど1つのモデルを持つようなことはない、という結論が得られる。
背景
一階の理論 (theory) は、固定されたシグネチャと、そのシグネチャにおける固定された文（自由変項のない論理式）の集合で構成される。その論理式の集合は論理的帰結の下で閉じている。理論はその理論を生成する一連の公理で指定されたり、構造を与えてその構造を満足する文で理論を構成したりすることが多い。
σ構造 M の部分構造 (substructure) は、σの全ての関数の解釈の下で閉じた（つまり、σの全定数記号の解釈を含む）M の部分集合 N を取り、関係記号の解釈を N に制限することで得られる。初等部分構造 (elementary substructure) はその非常に特殊な場合であり、元の構造と全く同じ一階の文を満たす。（このときNはMの初等的拡張(elementary extension)という。）
正確な記述
一般化されたレーヴェンハイム?スコーレムの定理では、あらゆるシグネチャ σ、あらゆる無限濃度の σ構造 M、あらゆる無限濃度 K ? |σ| について、|N| = K となる σ構造 N があり、
K < |M| なら、N は M の初等的部分構造であり、
K > |M| なら、N は M の初等的拡張である。
この定理は、上の箇条書きされた部分に対応して2つに分割されることが多い。
ある構造がより小さい濃度の初等部分構造を持つとする定理の部分を下方レーヴェンハイム?スコーレムの定理 と呼ぶ。
つづく
367(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/08/18(日)18:59 ID:CwMq/yUw(19/25) AAS
>>366
つづき
ある構造がより大きい濃度の初等拡張を持つとする定理の部分を上方レーヴェンハイム?スコーレムの定理 と呼ぶ。
冒頭の簡単な言明の場合、理論の無限のモデルとは、ここでいう M である。定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならないことをも示す。
この事実を定理の一部とする場合もある。
例と帰結
自然数を N、実数を R とする。この定理によれば、(N, +, ×, 0, 1) の理論（真の一階算術の理論）には非可算なモデルがあり、(R, +, ×, 0, 1) の理論（実閉体の理論）には可算なモデルがある。もちろん同型の違いを除いて、(N, +, ×, 0, 1) と (R, +, ×, 0, 1) を特徴付ける公理化が存在する。
レーヴェンハイム?スコーレムの定理は、それらの公理化が一階ではあり得ないことを示している。例えば、線型順序の完備性は実数が完備な順序体であることを特徴付けるのに使われるが、その線型順序の完備性は一階の性質ではない。
理論が範疇的 categorical であるとは、同型の違いを除いて唯一のモデルを持つことを意味する。この用語は1904年、オズワルド・ヴェブレンが考案したもの[1]で、その後しばらくの間、数学者らは集合論を範疇的な一階の理論で記述することで、数学の堅固な基盤を築けると考えていた。
レーヴェンハイム-スコーレムの定理はこの希望への最初の打撃となった。なぜなら、その定理によれば無限のモデルを持つ一階の理論は範疇的にはなり得ないからである。さらに1931年、ゲーデルの不完全性定理によって希望は完全に打ち砕かれた。
レーヴェンハイム-スコーレムの定理から導かれる結論の多くは、一階とそうでないものの違いがはっきりしていなかった20世紀初頭の論理学者にとっては直観に反していた。
例えば、真の算術 (true arithmetic) には非可算なモデルがあり、それらは一階のペアノ算術を満足するが、同時に帰納的でない部分集合を持つ。さらに悩ましかったのは、集合論の可算なモデルの存在である。
それにもかかわらず、集合論は実数が非可算であるという文を満たさなければならない。この直観に反するような状況はスコーレムのパラドックスと呼ばれ、可算性 (countability) は絶対的 (absolute) ではないことを示している。
つづく
368(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/08/18(日)18:59 ID:CwMq/yUw(20/25) AAS
>>367
つづき
歴史
以下の記述は主に Dawson (1993) に基づいている。モデル理論の初期の歴史を理解するには、統語論的整合性（一階論理の推論規則を使って導かれるものには矛盾がないこと）と充足可能性（satisfiability、モデルがあること）を区別しなければならない。
後にモデル理論となる重要な成果は、レオポルト・レーヴェンハイム が "Uber Moglichkeiten im Relativkalkul"（1915年）で発表した下記の「レーヴェンハイムの定理」であった[2]。
全ての可算なシグネチャ σ について、充足可能な全てのσ文は可算モデルにおいて充足可能である。
スコーレムの名が下方の定理（下降定理）だけでなく上方の定理（上昇定理）にも付与されているのは、ある意味で皮肉である。
「私は、系 6.1.4 を慣例に従って上方レーヴェンハイム-スコーレムの定理と呼ぶ。しかし、実のところスコーレムは非可算集合の存在を信じておらず、したがってこの定理の意味するところを信じてすらいなかった」 - Hodges (1993)
「スコーレムは … その結論を意味がないとして拒絶した。タルスキは … スコーレムの形式主義的観点に立つなら、上方の定理を無意味だとするなら下方レーヴェンハイム-スコーレム定理も無意味とすべきではないか、と非常に適切に応えた」 - Hodges (1993)
「トアルフ・スコーレムは亡くなる直前まで、この定理に彼の名が冠せられていることに憤慨していたという。彼は非可算集合の存在そのものが不合理であるとし、実在しないと考えていた」 - Poizat (2000)
(引用終り)
376(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/08/18(日)19:28 ID:CwMq/yUw(21/25) AAS
>>367 補足
＞定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならないことをも示す。
これか、”二階述語論理では、「ドメインは有限である」とか「ドメインは可算無限集合の濃度である」といった文も形式的に表現可能”
二階述語論理を考えると、やっぱ無限公理がいるってことかな？難しいね〜ｗ （＾＾
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
二階述語論理
(抜粋)
二階論理の表現能力
二階述語論理は一階述語論理よりも表現能力が高い。例えば、ドメインが全ての実数の集合としたとき、一階述語論理を使ってそれぞれの実数には加法の逆元が存在するということを ∀x ∃y (x + y = 0) と表せる
しかし、空でなく上に有界な実数の集合があるとき常にその集合には上限が存在するという命題を表すには、二階述語論理が必要となる
ドメインが全ての実数の集合としたとき、次の二階の論理式がこの命題を表している。
二階述語論理では、「ドメインは有限である」とか「ドメインは可算無限集合の濃度である」といった文も形式的に表現可能である
ドメインが有限であるというには、そのドメインから同じドメインへの全ての単射関数が全射であることを論理式で表せばよい
ドメインが可算無限集合の濃度であることをいうには、そのドメインの任意のふたつの無限部分集合間に全単射があることを論理式で表せばよい
一階述語論理ではこれら（「有限集合であること」や、「可算集合であること」）を表現できないことが、レーヴェンハイム-スコーレムの定理から導かれる
歴史と論争
近年、二階述語論理は一種の回復の途上にある。この傾向をもたらしたのは George Boolos による二階の量化の解釈であり、彼は一階の量化と同じドメインでの複数形の量化として二階の量化を解釈した
計算複雑性理論への応用
有限な構造についての二階述語論理の各種形式の表現能力は、計算複雑性理論と密接に関係している。記述計算量の研究では、複雑性クラスを説明するのにそれに属する言語を表現できる論理体系の能力で表す。そのため、二階述語論理を前提として次のような複雑性クラスを説明できる。
NP は、存在量化二階述語論理で表現できる言語の集合である（Fagin の定理、1974年）。
377(8): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/08/18(日)19:34 ID:CwMq/yUw(22/25) AAS
（>>345より）
＜時枝記事＞
おサルは、妄想>>329＆>>296だけで、裏付けはおサルの脳内のみ
おれの主張>>306-307には、現代数学の確率論・確率過程論の裏付けがある（例えば>>179など）
そして、この程度の確率論・確率過程論の知識は、大学数学科4年程度で修得するから、
このレベルに達すると、時枝記事不成立は分る。このレベルに達しないおサルが騒ぐだけ（＾＾
（>>306-307より）
確率空間、ほいよ>>199より
これ、i.i.d. 独立同分布に尽きる気がします
（説明）
１．箱が1個。確率変数X1
サイコロ，コインなら、確率空間は、下記の定義の通り。
サイコロΩ={1,2,3,4,5,6}で、1〜6の数が箱に入り、各確率1/6
コイン１枚なら、Ω={0,1}で、0か1の数が箱に入り、各確率1/2
２．箱がｎ個。確率変数X1,X2,・・・,Xn
i.i.d. 独立同分布とすると、各箱は上記1の通り
３．箱が可算無限個。確率変数X1,X2,・・・ →X∞
i.i.d. 独立同分布とすると、各箱は上記1の通り
４．時枝は、これで尽きている。上記１〜３のどの箱の確率変数も例外なし！
QED（＾＾
外部ﾘﾝｸ:mathtrain.jp
確率空間の定義と具体例（サイコロ，コイン） | 高校数学の美しい物語 2015/11/06
補足（>>347より）
ここに書いた１〜３は
Alexander Pruss氏にしろ、Tony Huynh氏にしろ、Sergiu Hart氏にしろ
当然既知だよ
一方、Denisは分ってない
１〜３という共通基盤のないDenis氏、
それが分ったので彼との議論は、時間の無駄とAlexander Pruss氏は思ったろう
現代数学の確率論・確率過程論を一から説くには、時間がかかりすぎるからね
外部ﾘﾝｸ:mathoverflow.net
Probabilities in a riddle involving axiom of choice asked Dec 9 '13 at 16:16 Denis
(抜粋)
（Alexander Pruss氏）
（Tony Huynh氏）
Sergiu Hart氏 PDF 外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.ma.huji.ac.il
396(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/08/18(日)21:37 ID:CwMq/yUw(23/25) AAS
おサルは、時枝記事 あるいは Probabilities in a riddle involving axiom of choiceがパラドックスに見える
だが、人は、時枝記事 や Probabilities in a riddle involving axiom of choice パラドックスではない
不成立に見えて、実際にも不成立を知るゆえｗ
（∵ 現代数学の確率論・確率過程論の知識があるからｗ（＾＾； ）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
パラドックス
(抜粋)
パラドックスの一覧
数学・記号論理学
バナッハ＝タルスキーのパラドックス
選択公理を使用すると球をある方法で有限個（5個以上）に分割して組み立てなおすと、もとの球と同じ大きさの球が2個できる、というもの。
すべての馬は同じ色
数学的帰納法をもとにしたパラドックス。
自己言及パラドックス関連
ラッセルのパラドックス
自分自身を要素としない集合の集合は、自分自身を含んでいるか。
ベリーのパラドックス
「19文字以内で記述できない最小の自然数」は何か？（「」内の文章自体が19文字であることに注意）
嘘つきのパラドックス
「この文章は嘘である」。ゲーデルはこれを「この命題は証明出来ない」という命題に改めて、第一不完全性定理を導いた。
ブラリ＝フォルティのパラドックス
「全ての順序数の集合」を仮定すると、それ自身が順序数であることから矛盾が生じる。
「無限」
ヒルベルトの無限ホテルのパラドックス
無限に部屋のあるホテルは、満室であってもそれぞれ n 番目の客室の客に n + m 番目の客室に移ってもらうことにより、さらに m 人の客を泊めることができる。無限の客がやってきても、元いた客に 2n 番目の客室に移ってもらうことにより入室可能である。
スコーレムのパラドックス
下降型レーヴェンハイム-スコーレムの定理によると、ZF 集合論も可算モデルを持つことになるが、ZF 集合論の中には非可算集合が存在する。このことは一見不合理のように見えるので、スコーレムのパラドックスと呼ばれる。これは、形式体系内での集合概念と、メタ理論内の集合概念の違いをはっきり認識していないと不可解に見えるというに過ぎない。
確率論関連
モンティ・ホール問題 - 3つのドアの選び方。
410(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/08/18(日)22:18 ID:CwMq/yUw(24/25) AAS
>>307
>問いに無いi.i.d.なる仮定を勝手に持ち込んでるが、おれの勝ち
独立同一分布(i.i.d.)は、何も特別なことでなく、普通で当たり前（下記ご参照）
普通に同じサイコロを振るだけのことよ
おサルは理解できないみたいだが
（参考）
外部ﾘﾝｸ:engineeeer.com
独立同一分布(i.i.d.)に従うってどういうことなんだ【確率統計】研究所で働くエンジニアのブログ 書籍
2019.08.18
(抜粋)
機械学習の解説なんかを読んでいると、不意に独立同一分布(i.i.d.)という単語に出くわすことがあります。
i.i.d.をネットでぱっと調べてもいまいちピンと来ず、
平岡和幸氏著『プログラミングのための確率統計』 (P.102)
外部ﾘﾝｸ:amzｎ.to/33EuXj8
を読んで腹落ちしたので、備忘録として残しておきます。
ほとんど引用ですが…。
では本題です。
1つの同じサイコロを20回振る場面を想像してください。ここでは、
1回目のサイコロの値を確率変数X_1
2回目のサイコロの値を確率変数X_2
…
20回目のサイコロの値を確率変数X_{20}
とおいて、X_1からX_{20}の20個の確率変数を考えます。
同じサイコロを振るので、1回目も2回目も…20回目も出る目の分布は同じです。つまり、1が出る確率は何回目だろうが1/6だし、2が出る確率も1/6、3が出る確率も…以下略です。
また、サイコロに変な細工をしない限り、1回目に何が出ようが2回目の結果には影響しません。言い換えると、何回目に何が出ようが、確率分布に影響はありません。
このとき1回目にx_1が出て、2回目にx_2が出て、…20回目にx_{20}が出る確率は
P(X_1=x_1, ..., X_{20}=x_{20})
= P(X_1=x_1)P(X_2=x_2)...P(X_{20}=x_{20})
と表せます。
このように確率変数X_1, ..., X_{20}について、個々の確率変数が従う確率分布(周辺確率)がどれも同じで、且つそれらが独立のとき、確率変数が独立同一分布に従うといいます。独立同一分布という分布が存在するわけではないので、ご注意ください。
プログラミングのための確率統計では、確率統計で登場する用語が直感的に分かりやすく解説されています。手元に置いておくと、いざという時に助けてくれる心強い味方です。
411(11): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/08/18(日)22:23 ID:CwMq/yUw(25/25) AAS
>>396
＞パラドックスの一覧
時枝記事 あるいは Probabilities in a riddle involving axiom of choiceは、
パラドックスとして扱われていない！！
100年経っても同じだろう
∵ 不成立に見えて、実際にも不成立。現代数学の確率論・確率過程論の知識より
プロ数学者は、だれも相手にしない
不成立に見えて、自明に不成立だから ｗ（＾＾
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