[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む75 (1002ﾚｽ)
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17(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/08/15(木)23:54:01.09 ID:brP98meI(16/17) AAS
>>16
つづき
例
以下は完全不連結空間の例である。
・離散空間
・有理数全体
・無理数全体
・p 進数全体や p 進整数全体、より一般に、射有限群
・カントール集合
・ベール空間
・ゾルゲンフライ直線（英語版）
・0次元 T1 空間
・extremally disconnected（英語版） なハウスドルフ空間
・ストーン空間
・Knaster?Kuratowski fan（英語版） は連結空間であるが、一点を取り除くと完全不連結空間になる
・エルデシュ空間（英語版） ｌ^p( Z )∩Q^ω は次元 0 でない完全不連結空間である
性質
・完全不連結空間の部分空間、積、余積は完全不連結である。
・完全不連結空間は、一元集合が閉であるので、T1 空間である。
・完全不連結空間の連続像は完全不連結であるとは限らない。実際、すべてのコンパクト距離空間はカントール集合の連続像である。
・局所コンパクトハウスドルフ空間が 0 次元 であることと完全不連結であることは同値である。
・すべての完全不連結コンパクト距離空間は、離散空間の可算個の積の部分集合に同相である。
・すべての開集合が閉集合でもあるということは一般には正しくない。
・すべての開集合の閉包が開であるということは一般には正しくない、つまり、すべての完全不連結ハウスドルフ空間が extremally disconnected であるわけではない。
不連結空間を構成
X を任意の位相空間とする。関係 〜 を x 〜 y ⇔ y ∈ conn?(x) によって定める。
（conn?(x) は x を含む最大の連結部分集合を表す。）
これは明らかに同値関係である。
X?/?〜 に商位相、すなわち、写像 m： x→ conn (x) が連続になる最も粗い位相を与える。
少し考えれば X?/?〜 が完全不連結であることが分かる。
さらに次の普遍性が成り立つ。 f： X→ Y が完全不連結空間への連続写像であれば、
一意的な連続写像 fv： (X/〜 )→ Yによって f=fv ◯ m と分解する。
(引用終り)
以上
84(4): 2019/08/16(金)11:46:51.09 ID:pUzim9A1(5/15) AAS
つづき
（参考）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
カントール集合
(抜粋)
カントール集合（カントールしゅうごう、Cantor set）は、フラクタルの1種で、閉区間 [0, 1] に属する実数のうち、その三進展開のどの桁にも 1 が含まれないような表示ができるもの全体からなる集合である。
カントールの三進集合とも呼ばれ[8]、カントル集合、カントルの三進集合とも表記される[9]。フラクタル概念の生みの親であるブノワ・マンデルブロは、位相次元が 0 の図形をダスト（塵）と呼び、カントール集合のことはカントール・ダストやカントールのフラクタルダストと呼んでいた[10]。
カントール自身は、三角級数が収束しない点全体の成す集合という実際上の懸案からカントール集合を導き出した。この発見は、カントールを無限集合に関する抽象的一般論の発展へと駆り立てるものであった。
構成
カントール集合は、幾何学的には、線分を3等分し、得られた3つの線分の真ん中のものを取り除くという操作を、再帰的に繰り返すことで作られる集合である。ここで、取り除く線分は開区間である。
すなわち、単位区間I = [0, 1] から、1回目の操作では (1/3, 2/3) を取り除き、2回目の操作では (1/9, 2/9) と (7/9, 8/9) を取り除き……といった具合に操作を無限に繰り返し、残った部分集合がカントール集合である[12]。
性質
カントール集合はフラクタル図形の一種で自己相似性を持つ。フラクタル次元の一つであるハウスドルフ次元は log 2?/?log 3 (= 0.6309297...) で、1 よりも小さい値を持つ[17]。カントール集合は、ルベーグ測度は 0 でありながら、濃度は実数に等しい集合（連続体濃度の非可算集合）として有名な例である[18]。
つづく
319: 2019/08/18(日)09:13:49.09 ID:K18skXTH(1/25) AAS
>>299
＞メンタル弱いな。
アタマヨワイな
中卒？
366(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/08/18(日)18:58:30.09 ID:CwMq/yUw(18/25) AAS
>>362
>>そもそも無限集合の存在に、本質もクソもない
>>存在しないという公理もありだし
>>存在するという公理もありだ
>これがお前の限界なんだよ。ｗｗ
レベル高いね。これか（＾＾
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
レーヴェンハイム?スコーレムの定理
(抜粋)
レーヴェンハイム?スコーレムの定理（英: Lowenheim?Skolem theorem）とは、可算な一階の理論が無限モデルを持つとき、全ての無限濃度 K について大きさ K のモデルを持つ、という数理論理学の定理である。
そこから、一階の理論はその無限モデルの濃度を制御できない、そして無限モデルを持つ一階の理論は同型の違いを除いてちょうど1つのモデルを持つようなことはない、という結論が得られる。
背景
一階の理論 (theory) は、固定されたシグネチャと、そのシグネチャにおける固定された文（自由変項のない論理式）の集合で構成される。その論理式の集合は論理的帰結の下で閉じている。理論はその理論を生成する一連の公理で指定されたり、構造を与えてその構造を満足する文で理論を構成したりすることが多い。
σ構造 M の部分構造 (substructure) は、σの全ての関数の解釈の下で閉じた（つまり、σの全定数記号の解釈を含む）M の部分集合 N を取り、関係記号の解釈を N に制限することで得られる。初等部分構造 (elementary substructure) はその非常に特殊な場合であり、元の構造と全く同じ一階の文を満たす。（このときNはMの初等的拡張(elementary extension)という。）
正確な記述
一般化されたレーヴェンハイム?スコーレムの定理では、あらゆるシグネチャ σ、あらゆる無限濃度の σ構造 M、あらゆる無限濃度 K ? |σ| について、|N| = K となる σ構造 N があり、
K < |M| なら、N は M の初等的部分構造であり、
K > |M| なら、N は M の初等的拡張である。
この定理は、上の箇条書きされた部分に対応して2つに分割されることが多い。
ある構造がより小さい濃度の初等部分構造を持つとする定理の部分を下方レーヴェンハイム?スコーレムの定理 と呼ぶ。
つづく
451(1): 2019/08/19(月)11:35:37.09 ID:mDG5H2jQ(7/12) AAS
>>449
そうそう、私がこの前出した、プレーヤーがドアを変更したら景品が当たる確率は 2/3 か 1/2 な。
客観的には、プレーヤーがドアを変更したら景品が当たる確率は、2/3×1＋1/3×1/2＝2/3＋1/6＝5/6 になる。
462(2): 哀れな素人 2019/08/19(月)17:55:13.09 ID:6fjpKkwa(14/25) AAS
>>458
いや、スレ主よ、僕がいっているのはそういうことではなくて、
ｓの同値類（の代表元）には、
決定番号が２の同値類もあれば、決定番号が３の同値類もあれば、
決定番号が４の同値類もあれば、決定番号が５の同値類もあれば、
要するに決定番号がｎの同値類が無限にあるはずなのに、
時枝があたかもｓの同値類（の代表元）は一つしかない
かのように書いていることである。
これが僕が
４ 100本の数列のどれにも決定番号が同じ同値類が必ず存在するから不可能。
と書いた理由だが、もしかしたら時枝は別のことを言っている
のかもしれないと思ったのである。
今夕はここまで。
587(1): 哀れな素人 2019/08/21(水)17:24:19.09 ID:YhhTTu/r(7/15) AAS
時枝はこう考えた。
ｓが箱を開けずに残した最後の数列だとして、
１ ｓのｄは一つしかない。あるいは最大のｄが存在する。
２ sのｄは他の99本のｄの最大値Ｄより99/100の確率で小さい。
３ そこでsD＋1、sD＋2、……が分れば、ｓのｄが分り、
４ ｄのときの代表元ｒのＤ番目の数が、ｓのＤ番目の数である。
しかしこれらは全部間違い(笑
１ ｓのｄは無数にあり、最大のｄなど存在しない。
２ sのｄが他の99本のｄの最大値Ｄより小さい確率は1/2。
３ sD＋1、sD＋2、……が分ってもｓのｄは分らない。
４ ｄのときの代表元ｒのＤ番目の数はｓのＤ番目の数ではない。
詳しい説明は今夜にでもしよう。
今夕はここまで。
733: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/08/24(土)07:34:13.09 ID:9gk+t9xe(5/26) AAS
>>731 訂正
d(s)：s(可算無限数列の集合) → d（自然数の集合）
↓
d(s)：s(可算無限数列の集合（＝同値類）) → d（自然数の集合）
ってこと
丁寧に書けばね
分ると思うが
sは、同値類の代表だが、代表元はその同値類のどの元でも可なので（下記ご参照）、上記のようになるんだ
（参考）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
同値関係
(抜粋)
一つの同値類 X に対して、[x] = X となる S の元 x を1つ定めることを、X の代表元として x をとるという。1つの同値類は、それに含まれている元のうちどれをとっても、それを代表元とする同値類はもとと同じ集合になる（代表元の取替えによって不変である）
859: 2019/08/25(日)11:35:57.09 ID:SfTNK08U(25/63) AAS
「素人」のいうことは予測できるし
単なる無限公理否定 選択公理否定なんでほっといていいｗ
在阪馬鹿も結局は「箱の中身の分布」のことしかいわないんでほっといていいｗ
そう思うと、書き込む理由ってもうないんだよなｗ
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