[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む75 (1002ﾚｽ)
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10(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/08/15(木)22:47 ID:brP98meI(10/17) AAS
>>9
つづき
例えば、超距離空間 M において以下が成り立つ:
x, y, z ∈ M および r, s ∈ R は任意として、
・すべての三角形は鋭二等辺三角形か正三角形である: d(x,y)=d(y,z) ∨ d(x,z)=d(y,z) ∨ d(x,y)=d(z,x).
・球体の任意の内点はその球体の中心である: d(x,y)<r ⇒ B(x;r)=B(y;r).
・二つの球体が交わるならば、必ず一方が他方に包含される: B(x;r) ∩ B(y;s)≠ Φ ⇒ B(x;r) ⊆ B(y;s) ∨ B(y;s) ⊆ B(x;r).
・任意の球体は、距離函数の誘導する位相に関して、開かつ閉集合である。すなわち、開球体は閉でもあり、閉球体は開でもある。
・半径 r > 0 の与えられた閉球体に中心を持つ半径 r の開球体全体の成す集合は、与えられた閉球体の分割を成す。またこのとき、二つの異なる開球体同士の距離はやはり r に等しい。
これらの内容を証明するのはよい勉強になる[2]。
それらはすべて、超距離不等式から導かれる。
第二の内容より、球は距離が非ゼロであるようないくつかの中心点を持ちうることに注意されたい。
そのような奇妙に思われる結果を直感的に説明する鍵は、強三角不等式により、超距離における距離は足し上げられることがないという事実である。
つづく
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